프란츠 메르텐스

	프란츠 메르텐스
출생	1840년 3월 20일; 프로이센 (오늘날 폴란드) 비엘코폴스카주 시로다비엘코폴스카
사망	1927년 3월 5일(86세); 오스트리아 빈
교육	베를린 훔볼트 대학교
출신 학교	베를린 훔볼트 대학교
주요 업적	메르텐스 함수; 메르텐스 정리 (해석학); 메르텐스 정리 (수론)
분야	수학
소속	빈 대학교
박사 지도교수	에른스트 쿠머; 레오폴트 크로네커
기타 지도교수	에른스트 쿠머; 레오폴트 크로네커
박사 지도학생	에두아르트 헬리
유명한 학생	에두아르트 헬리

프란츠 카를 요제프 메르텐스(독일어: Franz Carl Josef Mertens, 1840년 5월 20일 ~ 1927년 5월 5일)는 독일의 수학자이다. 프로이센 왕국 포젠 대공국의 슈로다(독일어: Schroda, 오늘날 시로다비엘코폴스카 폴란드어: Środa Wielkopolska)에서 태어나고 오스트리아 빈에서 죽었다.

그는 메르텐스 함수 M(x)를 수론적 함수 이론에서 뫼비우스 함수에 대한 부분합 함수라고 정의했다. 그 값의 증가가 x^1/2의 유계를 가지는 것 같다고 제시한 메르텐스 추측은 리만 가설을 암시할 수 있지만, 나중에 틀린 것으로 밝혀졌다. 마이셀-메르텐스 상수는 오일러-마스케로니 상수 γ 와 유사한데, 다만 조화급수 합을 모든 정수에 대해서가 아니라 모든 소수에 대해서만 계산하고 로그도 한 번이 아니라 두 번을 취한다는 점에서 다르다.

또한 그는 1874년에 π와 e와 γ의 관계를 보여주는 다음의 적분 공식 및 곱셈 형태를 발견했다.^[1]

\int _{0}^{\infty }e^{-x}\ln ^{2}xdx={\frac {\pi ^{2}}{6}}+\gamma ^{2}

\lim _{n\to \infty }\ln n\prod _{p<n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)=e^{-\gamma },

\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{\ln n}}\prod _{p<n}\left(1+{\frac {1}{p}}\right)={\frac {6e^{\gamma }}{\pi ^{2}}}

특히 두 번째 공식은 메르텐스의 제 3정리라 불린다.

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