코시 곱

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해석학에서, 두 급수코시 곱(영어: Cauchy product)은 그 두 급수의 곱으로 수렴하는 급수의 하나이다. 급수에 대한 합성곱과 같다.

정의[편집]

복소수 급수 코시 곱은 다음과 같다.

특히, 두 복소수 멱급수 의 코시 곱은 다음과 같다.

성질[편집]

메르텐스 정리[편집]

만약 절대 수렴하며, 수렴한다면, 코시 곱은 두 급수의 곱으로 수렴한다. 즉, 다음이 성립한다.

이를 메르텐스 정리(영어: Mertens' theorem)라고 한다.

증명[편집]

다음과 같이 쓰자.

그렇다면, 다음이 성립한다.

정리의 가정에 의하여, 다음과 같이 정의한 은 유한한 수이다.

임의의 을 취하자. 그렇다면, 다음을 만족시키는 이 존재한다.

  • 모든 에 대하여,
  • 모든 에 대하여,

따라서, 모든 에 대하여, 다음이 성립한다.

즉, 로 수렴하며, 정리의 결론이 성립한다.

[편집]

코시 곱이 발산하는 두 수렴 급수[편집]

급수 와 자기 자신의 코시 곱을 이라고 하자. 그렇다면,

이다. 따라서 다음이 성립한다.

즉, 코시 곱 은 발산한다. 그러나 원래의 급수 조건 수렴한다.

역사[편집]

프랑스의 수학자 오귀스탱 루이 코시의 이름을 땄다.

외부 링크[편집]