정수론 에서 메르텐스 정리 (Mertens' theorems)는 독일 수학자 프란츠 메르텐스 (Franz Mertens)가 1874년에 제출한 정리로서, 소수 의 밀도에 관한 해석적 수론 의 초기 결과이다. 다음과 같은 세 가지 형식이 있다.(메르텐스의 제2정리의 경우, 레온하르트 오일러 는 이미 소수의 역수의 합이 발산 함을 복소해석적 기법으로 증명한 적이 있다[1] 소수 정리 가 이미 증명된 지금은 메르텐스의 제1정리와 제2정리의 수렴성은 소수 정리로부터 직접적으로 유도가 가능하다.
메르텐스의 제1정리 [ 편집 ]
p
{\displaystyle p}
ln
n
−
∑
p
<
n
ln
p
p
=
O
(
1
)
as
n
→
∞
,
{\displaystyle \ln n-\sum _{p<n}{\frac {\ln p}{p}}=O(1)\quad {\hbox{as}}\ n\to \infty ,}
이 수렴값은 약
1.3325822757..
{\displaystyle 1.3325822757..}
[2]
메르텐스의 제2정리 [ 편집 ]
p
{\displaystyle p}
lim
n
→
∞
(
−
ln
ln
n
+
∑
p
<
n
1
p
)
=
0.2614972128
…
,
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(-\ln \ln n+\sum _{p<n}{\frac {1}{p}}\right)=0.2614972128\ldots ,}
이 수렴값(
M
{\displaystyle M}
마이셀-메르텐스 상수 (Meissel–Mertens constant)라 한다. 약간의 대수학적 변형을 이용하면 이것과 유명한 오일러-마스케로니 상수
γ
{\displaystyle \gamma }
M
−
γ
=
∑
p
[
ln
(
1
−
1
p
)
+
1
p
]
{\displaystyle M-\gamma =\sum _{p}\left[\ln \left(1-{\frac {1}{p}}\right)+{\frac {1}{p}}\right]}
메르텐스의 제3정리 [ 편집 ]
p
{\displaystyle p}
γ
{\displaystyle \gamma }
lim
n
→
∞
ln
n
∏
p
<
n
(
1
−
1
p
)
=
e
−
γ
,
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\ln n\prod _{p<n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)=e^{-\gamma },}
이것은 제타 함수 와 관계가 있는 유명한 식이다.
또는
∏
p
≤
n
(
1
−
1
p
)
∼
e
−
γ
ln
n
{\displaystyle \prod _{p\leq n}\left(1-{{1} \over {p}}\right)\sim {{e^{-\gamma }} \over {\ln n}}}
같이 보기 [ 편집 ] 
![{\displaystyle M-\gamma =\sum _{p}\left[\ln \left(1-{\frac {1}{p}}\right)+{\frac {1}{p}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83ef2776181565f6f10f954cf503e79d2da2abe9)
