라디안

라디안
단위의 종류	SI 유도 단위
측정 대상	각
기호	rad 또는 c
단위 환산
1 rad ▼	동등 환산값
밀리라디안	1,000 밀리라디안
바퀴	1/2π 바퀴
도	180/π ≈ 57.296°
곤(gon)	200/π ≈ 63.662g

라디안과 도

라디안(영어: radian) 또는 호도(弧度)는 각의 크기를 재는 SI 유도 단위이다. 기호는 rad 또는 ^c이며 이는 자주 생략된다. 어떤 각의 라디안 값은 같은 크기의 단위원 중심각이 대하는 호의 길이와 같다. 1라디안은 약 57.3도이다.

정의

라디안의 정의

평면 위의 각이 주어졌다고 하자. 이 각의 꼭짓점을 중심으로 하는 원을 취하자. 이 원의 반지름을 $r>0$이라고 하고, 이 원에서 주어진 각이 대하는 호의 길이를 $l$이라고 하자. 원주율은 모든 원에 대하여 일정하므로, 호의 길이와 반지름의 비

${\frac {l}{r}}$

는 원의 선택과 무관하다. 이를 주어진 각의 라디안 값으로 정의한다.

예를 들어, 평각은 길이가 $\pi r$인 반원의 둘레를 대하므로 $\pi$ 라디안이다.

라디안은 길이와 길이의 비율로 정의되므로 무차원 단위이다. 따라서 단위를 생략하여도 좋다.

단위 환산

라디안과 도

라디안과 도 사이의 환산은 다음과 같다.

$1\operatorname {rad} ={\frac {180^{\circ }}{\pi }}\approx 57.2958^{\circ }$ (OEIS의 수열 A072097)

$1^{\circ }={\frac {\pi }{180}}\operatorname {rad} \approx 0.0175\operatorname {rad}$ (OEIS의 수열 A019685)

라디안과 그레이드

라디안과 그레이드 사이의 환산은 다음과 같다.

$1\operatorname {rad} ={\frac {200^{\operatorname {g} }}{\pi }}\approx 63.6620^{\operatorname {g} }$ (OEIS의 수열 A060294)

$1^{\operatorname {g} }={\frac {\pi }{200}}\operatorname {rad} \approx 0.0157\cdots \operatorname {rad}$ (OEIS의 수열 A019669)

자주 쓰이는 각

자주 쓰이는 각들의 단위 환산은 다음과 같다.

바퀴	라디안 (rad)	도 (°)	그레이드 (g)
0	0	0	0
${\frac {1}{24}}$	${\frac {\pi }{12}}$	15	$16{\frac {2}{3}}$
${\frac {1}{12}}$	${\frac {\pi }{6}}$	30	$33{\frac {1}{3}}$
${\frac {1}{10}}$	${\frac {\pi }{5}}$	36	40
${\frac {1}{8}}$	${\frac {\pi }{4}}$	45	50
${\frac {1}{6}}$	${\frac {\pi }{3}}$	60	$66{\frac {2}{3}}$
${\frac {1}{5}}$	${\frac {2\pi }{5}}$	72	80
${\frac {1}{4}}$	${\frac {\pi }{2}}$	90	100
${\frac {1}{3}}$	${\frac {2\pi }{3}}$	120	$133{\frac {1}{3}}$
${\frac {2}{5}}$	${\frac {4\pi }{5}}$	144	160
${\frac {1}{2}}$	$\pi$	180	200
${\frac {3}{4}}$	${\frac {3\pi }{2}}$	270	300
1	$2\pi$	360	400

응용

삼각 함수의 미분

사인 함수와 코사인 함수는 독립 변수를 라디안으로 간주한다. 이 경우 다음과 같은 미분 공식이 성립한다.

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\sin x=\cos x$

이 공식들은 다른 각의 단위를 사용할 때보다 깔끔하다. 예를 들어, 도를 단위로 하는 사인 함수 $f(x)=\sin(180x/\pi )$와 코사인 함수 $g(x)=\cos(180x/\pi )$를 정의할 경우, 미분 공식에는 다음과 같이 불필요한 계수가 붙는다.

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}f(x)={\frac {180}{\pi }}g(x)$

호의 길이와 부채꼴의 넓이

원의 반지름을 $r$, 원의 호의 길이를 $l$, 호가 대하는 중심각의 라디안을 $\theta$라고 하자. 그렇다면 다음과 같은 호의 길이 공식이 성립한다.

$l=r\theta$

또한, 다음과 같은 부채꼴의 넓이 공식이 성립한다.

$A={\frac {1}{2}}r^{2}\theta$

역사

입체각의 단위 스테라디안과 함께 SI 보조 단위에 속했었다. 1995년에 SI 보조 단위가 폐지되면서 SI 유도 단위가 되었다.

같이 보기

• 각속도
• 밀리라디안
• 스테라디안

외부 링크

• 네이버 캐스트 - 라디안
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Radian”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.