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[[대수적 위상수학]]에서, '''특이 호몰로지'''({{lang|ko-Hani|特異homology}}, {{lang|en|singular homology}})는 단체({{lang|en|simplex}})를 사용하여 정의하는 [[호몰로지]] 이론이다. |
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[[대수적 위상수학]]에서, '''특이 호몰로지'''({{lang|ko-Hani|特異homology}}, {{lang|en|singular homology|싱귤러 호몰로지}})는 단체({{lang|en|simplex}})를 사용하여 정의하는 [[호몰로지]] 이론이다. |
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== 정의 == |
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== 정의 == |
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== 참고 문헌 == |
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== 참고 문헌 == |
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* {{책 인용|성=Hatcher|이름=Allen|제목=Algebraic topology|출판사=Cambridge University Press|연도=2002|ISBN=0-521-79540-0|url=http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html|쪽=108}} |
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* {{책 인용|성=Hatcher|이름=Allen|제목=Algebraic topology|출판사=Cambridge University Press|연도=2002|ISBN=0-521-79540-0|url=http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html|쪽=108}} |
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*{{책 인용|제목=대수적 위상수학|저자=조용승|출판사=경문사|날짜=2010-09|isbn= 978-89-6105-365-5|url=http://kyungmoon.com/shop_product/shop_pdt_view.php?&p_idx=6810}} |
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[[분류:대수적 위상수학]] |
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[[분류:대수적 위상수학]] |
대수적 위상수학에서, 특이 호몰로지(特異homology, singular homology 싱귤러 호몰로지[*])는 단체(simplex)를 사용하여 정의하는 호몰로지 이론이다.
정의
특이단체
차원 표준단체(標準單體, standard simplex) 은 다음과 같다.
- .
이는 선분과 삼각형, 사면체를 일반화한 것이다.
가 위상공간이라고 하자. 위의 차원 특이단체(特異單體, singular complex)는 연속함수 를 뜻한다. 위의 차원 사슬(chain)은 모든 차원 특이단체로 의하여 생성되는 자유 아벨 군의 원소다. 이 아벨 군을 이라고 쓰자.
경계 연산자
표준단체 의 꼭지점들을 이라고 하자. 표준단체 의 경계는 그 면들로 이루어져 있는데, 이들은 개의 꼭지점 가운데 하나씩을 제외하여 나열할 수 있다. 예를 들어
의 꼴이다. 이를 편의상
로 쓰자.
차원 특이단체 의 경계(境界, boundary) 는 다음과 같다.
- .
경계 연산자 는 특이단체뿐만 아니라 일반적인 사슬에 대해서도 선형으로 자연스럽게 확장할 수 있다. 즉 이다. 이는 아벨 군의 군 준동형사상을 이룬다. 또한, 는 항상 0이다. 따라서 은 사슬 복합체를 이룬다. 이 사슬 복합체를 이용하여 정의한 호몰로지 군
들을 특이 호몰로지라고 한다.
정수가 아닌 계수를 가진 특이 호몰로지
아벨 군은 환 에 대한 자유 가군이다. 환 를 다른 일반적인 (1을 포함하는) 환 로 대체하여 호몰로지를 정의할 수 있다. 이 경우 은 자유 -가군이 되고, 은 (일반적으로 자유롭지 않은) -가군이 된다.
특이 코호몰로지
위의 공사슬(cochain)은 군 준동형사상 이다. 공사슬의 집합은 아벨 군을 이루며, 으로 쓴다. 공사슬의 공경계(coboundary) 은 다음과 같다.
- .
은 공사슬 복합체를 이룬다. 이 복합체를 이용하여 정의한 코호몰로지 군
들을 특이 코호몰로지(singular cohomology)라고 한다.
예
구
차원 구 의 특이 호몰로지 군은 다음과 같다.
- , ()
- , ()
원환면
차원 원환면 의 특이 호몰로지 군은 다음과 같다.
- .
여기서 는 이항계수로, 인 경우 0으로 정의한다.
사영공간
복소 사영공간 의 특이 호몰로지 군은 다음과 같다.
- (, )
- ( 또는 )
참고 문헌