사영공간

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수학에서 사영공간(射影空間, 영어: projective space)은 평행선들이 만나는 장소인 무한원직선이나 무한원평면 등의 개념을 엄밀히 다루기 위해 만들어진 개념으로, 사영직선이나 사영평면 등을 임의 차원으로 일반화한 것이다. 사영공간의 기하학을 다루는 학문인 사영기하학은 현대 대수기하학의 기초가 되었으며, 사영공간 및 이를 확장한 개념인 그라스만 다양체깃발 다양체위상수학, 리군론, 대수군론 및 이 대상들의 표현론에서 중요한 역할을 한다.

정의[편집]

n차원 실사영공간은 다음과 같이 정의한다:

RPn := (Rn+1)/~.

여기에서 동치관계 ~는 임의의 0이 아닌 실수 λ에 대해 (x0, ..., xn) ~ (λx0, ..., λxn)이다. 즉, RPnRn+1의 원점을 지나는 모든 직선들의 집합으로 볼 수 있다.

여기에서 R을 임의의 나눗셈환으로 바꾸어도 된다. 특히 복소수체사원수환을 상의 사영공간은 각각 복소사영공간 CPn사원사영공간 HPn이라 부른다. 대수기하학에서는 k 상의 사영공간을 대체로 Pnk로 표기하고, 혼동의 소지가 없으면 k를 생략하기도 한다.

함께 보기[편집]