사영 공간

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수학에서 사영 공간(射影空間, 영어: projective space)은 벡터 공간의 원점을 지나는 직선들의 집합이다. 평행선들이 만나는 장소인 무한원직선이나 무한원평면 등의 개념을 엄밀히 다루기 위해 만들어진 개념이다. 사영 공간의 기하학을 다루는 학문인 사영기하학은 현대 대수기하학의 기초가 되었으며, 사영 공간 및 이를 확장한 개념인 그라스만 다양체깃발 다양체위상수학, 리 군론, 대수군론 및 이 대상들의 표현론에서 중요한 역할을 한다.

정의[편집]

음이 아닌 정수 n\in\mathbb N이 주어졌다고 하자. 정수 계수의 n차원 사영 공간 \mathbb P^n_{\mathbb Z}은 다음과 같다.

\mathbb P^n_{\mathbb Z}=\operatorname{Proj}\mathbb Z[x_1,\dots,x_n]

여기서 \mathbb Z[x_1,\dots,x_n]은 (등급환인) 정수 계수 다항식환이며, \operatorname{Proj}사영 스펙트럼이다.

임의의 스킴 X에 대하여, X 좌표의 n차원 사영 공간 \mathbb P_X^n은 다음과 같다.

\mathbb P^n_X=\mathbb P^n_{\mathbb Z}\times_{\mathbb Z}X

여기서 \times_{\mathbb Z}는 스킴의 올곱을 뜻한다.

K대수적으로 닫힌 체라고 하자. 그렇다면, \mathbb P^n_K의 닫힌 점들은 다음과 같이 구체적으로 정의할 수 있다. K^{n+1}\setminus\{(0,0,\dots,0)\}에 다음과 같은 동치 관계를 주자.

(a_0,a_1,\dots,a_n)\sim(\lambda a_0,\lambda a_1,\dots,\lambda a_n)\qquad\forall\lambda\in K^\times

그렇다면 \mathbb P^n_K의 닫힌 점들은 동치류 집합 (K^{n+1}\setminus\{(0,0,\dots,0)\})/\sim에 대응한다. 이 경우, (a_0,\dots,a_n)동차좌표라고 한다.

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1차원 복소수 사영 공간 \mathbb P^1_{\mathbb C}복소다양체로 여겼을 때 리만 구가 된다.

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]