특이 호몰로지

대수적 위상수학에서, 특이 호몰로지(特異homology, singular homology)는 단체(simplex)를 사용하여 정의하는 호몰로지 이론이다.

정의

특이단체

$n$차원 표준단체(標準單體, standard simplex) $\Delta ^{n}\subset \mathbb {R} ^{n+1}$은 다음과 같다.

$\Delta ^{n}=\left\{(x_{0},x_{1},\dots ,x_{n})|0\leq x_{i}\leq 1,\;\sum _{i}x_{i}=1\right\}$.

이는 선분과 삼각형, 사면체를 일반화한 것이다.

$X$가 위상공간이라고 하자. $X$ 위의 $n$차원 특이단체(特異單體, singular complex)는 연속함수 $\sigma _{n}\colon \Delta ^{n}\to X$를 뜻한다. $X$ 위의 $n$차원 사슬(chain)은 모든 $n$차원 특이단체로 의하여 생성되는 자유 아벨 군의 원소다. 이 아벨 군을 $C_{n}(X)$이라고 쓰자.

경계 연산자

표준단체 $\Delta ^{n}$의 꼭지점들을 $p_{1},\dots ,p_{n}$이라고 하자. 표준단체 $\Delta ^{n}$의 경계는 그 면들로 이루어져 있는데, 이들은 $n+1$개의 꼭지점 가운데 하나씩을 제외하여 나열할 수 있다. 예를 들어

$[p_{0},p_{2},\dots ,p_{k-1},p_{k+1},\dots ,p_{n}]$

의 꼴이다. 이를 편의상

$[p_{0},p_{1},\dots ,p_{k-1},{\hat {p}}_{k},p_{k+1},\dots ,p_{n}]$

로 쓰자.

$n$차원 특이단체 $\sigma _{n}\colon \Delta ^{n}\to X$의 경계(境界, boundary) $\partial _{n}\sigma _{n}\in C_{n-1}(X)$는 다음과 같다.

$\partial _{n}\sigma _{n}=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k}\sigma |_{[p_{0},\dots ,{\hat {p}}_{k},\dots ,p_{n}]}$.

경계 연산자 $\partial _{n}$는 특이단체뿐만 아니라 일반적인 사슬에 대해서도 선형으로 자연스럽게 확장할 수 있다. 즉 $\partial _{n}\colon C_{n}\to C_{n-1}$이다. 이는 아벨 군의 군 준동형사상을 이룬다. 또한, $\partial _{n-1}\circ \partial _{n}\colon C_{n}(X)\to C_{n-2}(X)$는 항상 0이다. 따라서 $(C_{\bullet }(X),\partial _{\bullet })$은 사슬 복합체를 이룬다. 이 사슬 복합체를 이용하여 정의한 호몰로지 군

$H_{n}(X)=\ker \partial _{n}/\operatorname {im} \partial _{n+1}$

들을 특이 호몰로지라고 한다.

정수가 아닌 계수를 가진 특이 호몰로지

아벨 군은 환 $\mathbb {Z}$에 대한 자유 가군이다. 환 $\mathbb {Z}$를 다른 일반적인 (1을 포함하는) 환 $R$로 대체하여 호몰로지를 정의할 수 있다. 이 경우 $C_{\bullet }(X,R)$은 자유 $R$-가군이 되고, $H_{\bullet }(X,R)$은 (일반적으로 자유롭지 않은) $R$-가군이 된다.

특이 코호몰로지

$X$ 위의 공사슬(cochain)은 군 준동형사상 $\phi ^{n}\colon C_{n}(X)\to \mathbb {Z}$이다. 공사슬의 집합은 아벨 군을 이루며, $C^{n}(X)=\hom(C_{n},\mathbb {Z} )$으로 쓴다. 공사슬의 공경계(coboundary) $\delta _{n}\colon C^{n}\to C^{n+1}$은 다음과 같다.

$\delta _{n}(\phi ^{n})(\sigma _{n+1})=\phi ^{n}(\partial _{n+1}\sigma _{n+1})$.

$(C^{\bullet }(X),\delta _{\bullet })$은 공사슬 복합체를 이룬다. 이 복합체를 이용하여 정의한 코호몰로지 군

$H^{n}(X)=\ker \delta _{n}/\operatorname {im} \delta _{n-1}$

들을 특이 코호몰로지(singular cohomology)라고 한다.

예

구

$n$차원 구 $S^{n}$의 특이 호몰로지 군은 다음과 같다.

$H_{0}(S^{0})=\mathbb {Z} ^{2}$, $H_{k}(S^{0})=0$ ($k>0$)

$H_{0}(S^{n})=H_{n}(S^{n})=\mathbb {Z}$, $H_{k}(S^{0})=0$ ($0<k\neq n$)

원환면

$n$차원 원환면 $T^{n}$의 특이 호몰로지 군은 다음과 같다.

$H_{k}(T^{n})=\mathbb {Z} ^{\binom {n}{k}}$.

여기서 ${\binom {n}{k}}$는 이항계수로, $k>n$인 경우 0으로 정의한다.

사영공간

복소 사영공간 $\mathbb {C} P^{n}$의 특이 호몰로지 군은 다음과 같다.

$H_{k}(\mathbb {C} P^{n})=\mathbb {Z}$ ($0\leq p\leq 2n$, $p\equiv 0{\pmod {2}}$)

$H_{k}(\mathbb {C} P^{n})=0$ ($p>2n$ 또는 $p\equiv 1{\pmod {2}}$)

참고 문헌

• Hatcher, Allen (2002). 《Algebraic topology》. Cambridge University Press. 108쪽. ISBN 0-521-79540-0.