일반위상수학에서 쿠라토프스키 모노이드(영어: Kuratowski monoid)는 주어진 위상 공간의 부분 집합 위의 폐포 · 내부 · 여집합 연산들로 구성된 모노이드이다.
위상 공간
가 주어졌다고 하자. 이제, 문자
로 생성되는 자유 모노이드(클레이니 스타)
가 멱집합
위에 다음과 같이 작용한다고 하자.
![{\displaystyle {\mathsf {k}}\colon S\mapsto \operatorname {cl} (S)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f21411514761cac793c4b8a329abea8fd7a55b5e)
![{\displaystyle {\mathsf {c}}\colon S\mapsto X\setminus S}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33cbb61bdeeaf7b1ca0c7cde8c0d7dbf4d349258)
즉,
는 폐포 연산이며,
는 여집합 연산이다.
이제,
위에 똑같이 작용하는 연산들을 서로 동치로 간주하자.
![{\displaystyle s\sim t\iff \forall S\subseteq X\colon s(S)=t(S)\qquad (s,t\in \{{\mathsf {k}},{\mathsf {c}}\}^{*})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ececbc1a807984ffdd7b137b5a8ea8438658a978)
이는 합동 관계를 이루며, 이에 대한 몫 모노이드
를
의 쿠라토프스키 모노이드(영어: Kuratowski monoid)라고 한다.
가장 일반적인 쿠라토프스키 모노이드는 14개의 원소를 가지며, 다음과 같은 세 항등식으로 정의된다.[1][2]:9, Theorem 1.1[3]:Theorem 1.1[4] (
은 길이 0의 문자열이다.)
- (폐포의 멱등성)
![{\displaystyle {\mathsf {kk}}={\mathsf {k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af08566ed01332e9dfd33dca7476024ecd0c4f99)
- (여집합의 대합성)
![{\displaystyle {\mathsf {cc}}=\epsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d7e758d05df688a4f870c456cf01498d2d3e19f)
- (폐포의 내부의 정칙성)
- 편의상, 내부 연산
를 정의하면, 이는
와 나머지 두 항등식으로부터 함의된다. 즉, 이는 폐포의 내부가 항상 정칙 열린집합임을 나타낸다.
이 사실을 쿠라토프스키 14개 집합 정리(Kuratowski十四個集合定理, 영어: Kuratowski 14-set theorem)라고 한다. 이 모노이드를
라고 표기하자. 즉, 쿠라토프스키 14개 집합 정리에 등장하는 14개의 집합들은 다음과 같다.
문자열 |
설명 |
위의 작용
|
문자열 |
설명 |
위의 작용
|
![{\displaystyle \epsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3837cad72483d97bcdde49c85d3b7b859fb3fd2) |
원래 집합 |
|
![{\displaystyle {\mathsf {c}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/298b304c738ac9c490fad6b9575a1a36696dd88f) |
여집합 |
|
![{\displaystyle {\mathsf {k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de2ed627f006e42c04dad353b7c96da5d099b163) |
폐포 |
|
![{\displaystyle {\mathsf {ck}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6b996f3600e2c044a03c84bc4229e749d385517) |
폐포의 여집합 |
|
![{\displaystyle {\mathsf {ckc}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4eb57b6567d957eaba4e695bcb7d05010c864f9) |
내부 |
|
![{\displaystyle {\mathsf {kc}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b3251cc3e6da8df48558cb095e0e596dee69bc3) |
내부의 여집합 |
|
![{\displaystyle {\mathsf {kckc}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20500b1846841f4c87036e3ea32a3dccdabadea2) |
내부의 폐포 |
|
![{\displaystyle {\mathsf {ckckc}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fe323032179c5e65116cad458bdcdd4ecd70202) |
내부의 폐포의 여집합 |
|
![{\displaystyle {\mathsf {ckck}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/287dfba3e1e9d3ec3e98fd6b9280debf5d9ade4f) |
폐포의 내부 |
|
![{\displaystyle {\mathsf {kck}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83821986233ef4c46333fba9653c9b6c0c93a99d) |
폐포의 내부의 여집합 |
|
![{\displaystyle {\mathsf {ckckckc}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8b906dd85e09d8585f5c57a9dd185e7b2946da7) |
내부의 폐포의 내부 |
|
![{\displaystyle {\mathsf {kckckc}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d565a4db7aff7fff4368cdcb5ba21e82b9abcb73) |
내부의 폐포의 내부의 여집합 |
|
![{\displaystyle {\mathsf {kckck}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87c829394efebdb99423b6a4250d3940035e4a1c) |
폐포의 내부의 폐포 |
|
![{\displaystyle {\mathsf {ckckck}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e1705f162b3dd00cd13790cbb22e956a4794877) |
폐포의 내부의 폐포의 여집합 |
|
그렇다면, 임의의 위상 공간의 임의의 부분 집합의 쿠라토프스키 모노이드는
의 몫 모노이드이다.
이들 사이의 포함 관계는 다음과 같다.[2]:11, Figure 1.1
![{\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {int} (\operatorname {cl} S)&\subset &\operatorname {cl} (\operatorname {int} (\operatorname {cl} S))&\subset &\operatorname {cl} S\\\cup &&\cup \\\operatorname {int} (\operatorname {cl} (\operatorname {int} S))&\subset &\operatorname {cl} (\operatorname {int} S)&&\cup \\\cup \\\operatorname {int} S&&\subset &&S\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b1387f4ea9605b49e97561d68b261429ac6b303)
위상 공간의 가능한 쿠라토프스키 모노이드
[편집]
임의의 위상 공간의 쿠라토프스키 모노이드는 다음 7가지 가운데 하나이다.[2]:12, Theorem 2.1
- ㈎
(가장 일반적인 쿠라토프스키 모노이드)
- ㈏ 크기 10의 모노이드. 이는
로 생성되는 합동 관계에 대한
의 몫 모노이드이다.
- ㈐ 크기 10의 모노이드. 이는
로 생성되는 합동 관계에 대한
의 몫 모노이드이다.
- ㈑ 크기 8의 모노이드. 이는
로 생성되는 합동 관계에 대한
의 몫 모노이드이다.
- ㈒ 크기 6의 모노이드. 이는
로 생성되는 합동 관계에 대한
의 몫 모노이드이다. 위상 공간이 이러한 쿠라토프스키 모노이드를 가질 필요 충분 조건은 모든 열린집합이 열린닫힌집합이지만 이산 공간이 아닌 것이다.
- ㈓ 크기 2의 모노이드 (2차 순환군). 이는
로 생성되는 합동 관계에 대한
의 몫 모노이드이다. 위상 공간이 이러한 쿠라토프스키 모노이드를 가질 필요 충분 조건은 공집합이 아닌 이산 공간인 것이다.
- ㈔ 크기 1의 모노이드 (자명군). 이러한 쿠라토프스키 모노이드를 가지는 위상 공간은 공집합 밖에 없다.
㈎
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㈏
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㈐
|
㈑
|
㈒
|
㈓
|
㈔
|
![{\displaystyle \epsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3837cad72483d97bcdde49c85d3b7b859fb3fd2) |
![{\displaystyle {\mathsf {c}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/298b304c738ac9c490fad6b9575a1a36696dd88f) |
![{\displaystyle \epsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3837cad72483d97bcdde49c85d3b7b859fb3fd2) |
![{\displaystyle {\mathsf {c}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/298b304c738ac9c490fad6b9575a1a36696dd88f) |
![{\displaystyle \epsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3837cad72483d97bcdde49c85d3b7b859fb3fd2) |
![{\displaystyle {\mathsf {c}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/298b304c738ac9c490fad6b9575a1a36696dd88f) |
![{\displaystyle \epsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3837cad72483d97bcdde49c85d3b7b859fb3fd2) |
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![{\displaystyle \epsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3837cad72483d97bcdde49c85d3b7b859fb3fd2) |
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![{\displaystyle {\mathsf {k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de2ed627f006e42c04dad353b7c96da5d099b163) |
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![{\displaystyle {\mathsf {k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de2ed627f006e42c04dad353b7c96da5d099b163) |
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![{\displaystyle {\mathsf {k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de2ed627f006e42c04dad353b7c96da5d099b163) |
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![{\displaystyle {\mathsf {k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de2ed627f006e42c04dad353b7c96da5d099b163) |
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![{\displaystyle {\mathsf {ckck}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/287dfba3e1e9d3ec3e98fd6b9280debf5d9ade4f) |
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![{\displaystyle {\mathsf {ckck}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/287dfba3e1e9d3ec3e98fd6b9280debf5d9ade4f) |
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![{\displaystyle {\mathsf {kckck}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87c829394efebdb99423b6a4250d3940035e4a1c) |
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![{\displaystyle {\mathsf {kckc}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20500b1846841f4c87036e3ea32a3dccdabadea2) |
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![{\displaystyle {\mathsf {ckckckc}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8b906dd85e09d8585f5c57a9dd185e7b2946da7) |
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![{\displaystyle {\mathsf {ckck}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/287dfba3e1e9d3ec3e98fd6b9280debf5d9ade4f) |
|
![{\displaystyle {\mathsf {ckc}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4eb57b6567d957eaba4e695bcb7d05010c864f9) |
|
![{\displaystyle {\mathsf {ckc}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4eb57b6567d957eaba4e695bcb7d05010c864f9) |
|
![{\displaystyle {\mathsf {ckc}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4eb57b6567d957eaba4e695bcb7d05010c864f9) |
|
![{\displaystyle {\mathsf {ckc}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4eb57b6567d957eaba4e695bcb7d05010c864f9) |
|
조밀 집합과 유사하게 정의되는 특별한 부분 집합
[편집]
의 원소
에 대하여,
이 되는 특별한 부분 집합
을 생각할 수 있다. 이렇게 정의할 수 있는 특별한 부분 집합들의 족은 6개가 있으며, 다음과 같다.
문자열 ![{\displaystyle s}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01d131dfd7673938b947072a13a9744fe997e632) |
인 부분 집합
|
문자열 ![{\displaystyle s}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01d131dfd7673938b947072a13a9744fe997e632) |
인 부분 집합
|
|
공집합
|
|
공집합의 여집합
|
|
|
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조밀한 곳이 없는 집합
|
|
조밀한 곳이 없는 집합의 여집합
|
|
|
|
조밀 집합의 여집합
|
|
조밀 집합
|
|
|
|
|
즉, 다음과 같은 함의 관계가 성립함을 알 수 있다.
- 조밀 집합의 여집합 ⇒ 조밀한 곳이 없는 집합 ⇒ 공집합
- 조밀 집합 ⇒ 조밀한 곳이 없는 집합의 여집합 ⇒ 공집합의 여집합
열린집합·닫힌집합과 유사하게 정의되는 특별한 부분 집합
[편집]
마찬가지로,
의 원소
에 대하여,
가 되는 특별한 부분 집합
을 생각할 수 있다.
가
를 짝수 개 포함한다고 가정하면, 이렇게 정의할 수 있는 특별한 부분 집합들의 족은 5개가 있으며, 다음과 같다.
문자열 ![{\displaystyle s}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01d131dfd7673938b947072a13a9744fe997e632) |
인 부분 집합
|
문자열 ![{\displaystyle s}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01d131dfd7673938b947072a13a9744fe997e632) |
인 부분 집합
|
![{\displaystyle \epsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3837cad72483d97bcdde49c85d3b7b859fb3fd2) |
(임의의 부분 집합)
|
![{\displaystyle {\mathsf {ckc}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4eb57b6567d957eaba4e695bcb7d05010c864f9) |
열린집합
|
![{\displaystyle {\mathsf {k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de2ed627f006e42c04dad353b7c96da5d099b163) |
닫힌집합
|
|
정칙 열린집합
|
|
정칙 닫힌집합
|
|
|
즉, 다음과 같은 함의 관계가 성립한다.
만약
가
를 홀수 개 포함한다면,
인 것은
인 경우 밖에는 불가능하다.
실수선의 쿠라토프스키 모노이드는
이다. 구체적으로, 실수선의 다음과 같은 부분 집합을 생각하자.
![{\displaystyle S=(0,1)\cup (1,2)\cup \{3\}\cup \left([4,5]\cap \mathbb {Q} \right)\subseteq \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3a213b82f6452776e48dbd01fd74b9293c580eb)
그렇다면,
는
위에 서로 다르게 작용한다.
쿠라토프스키 14개 집합 정리는 카지미에시 쿠라토프스키가 1922년에 증명하였다.[5]