종순군

군론에서 종순군(從順群, 영어: amenable group)은 군의 작용에 불변인 유한 가법 확률 측도를 정의할 수 있는 국소 콤팩트 위상군이다.^[1]^[2]

정의[편집]

다음이 주어졌다고 하자.

군 $G$
측도 공간 $(X,\mu )$
$G$ 의 $X$ 위의 왼쪽 작용 $G\times X\to X$ . 또한, 모든 $g\in G$ 에 대하여 $g\cdot$ 가 가측 함수라고 하자.

$X$ 위의 실수 값 ∞-르베그 공간 $\operatorname {L} ^{\infty }(X;\mathbb {R} )$ 은 실수 바나흐 공간이며, 그 위에는 다음과 같은 $G$ -왼쪽 작용이 존재한다.

(g\cdot f)(x)=f(g^{-1}\cdot x)

$\operatorname {L} ^{\infty }(X;\mathbb {R} )$ 위의 불변 평균은 다음 조건들을 만족시키는, 연속 쌍대 공간의 원소

\phi \in \operatorname {L} ^{\infty }(X;\mathbb {R} )^{*}

이다.

$\|\phi \|_{\operatorname {L} ^{\infty }(X;\mathbb {R} )^{*}}=1$ . 즉, 작용소 노름이 1이다.
임의의 $f\in \operatorname {L} ^{\infty }(X;\mathbb {R} )$ 에 대하여, 만약 거의 어디서나 $f\geq 0$ 이라면 (즉, $\mu (f^{-1}((-\infty ,0)))=0$ 이라면), $\phi (f)\geq 0$ 이다.
임의의 $f\in \operatorname {L} ^{\infty }(X;\mathbb {R} )$ 및 $g\in G$ 에 대하여, $\phi (g\cdot f)=\phi (f)$ 이다.

만약 불편 평균이 존재한다면, 군의 작용 $\cdot \colon G\times X\to X$ 을 종순 작용(영어: amenable action)이라고 한다.

(만약 $X$ 가 이산 공간일 경우, $\operatorname {L} ^{\infty }(X;\mathbb {R} )^{*}$ 는 유한 가법 측도의 공간과 같다.)

국소 콤팩트 하우스도르프 위상군 $G$ 에는 왼쪽 하르 측도 $\mu _{\text{LH}}$ 와 오른쪽 하르 측도 $\mu _{\text{RH}}$ 가 존재한다. 또한, $G$ 는 스스로 위의 왼쪽 및 오른쪽 작용을 갖는다. 이 경우, $G$ 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 국소 콤팩트 하우스도르프 위상군을 종순군이라고 한다.

종순군의 닫힌 부분군은 종순군이다.

종순군의 닫힌 부분군에 대한 몫군은 종순군이다.

유한 개의 종순군의 직접곱은 종순군이다. (그러나 무한 개의 경우 이는 성립하지 못할 수 있다.)

모든 유한군은 (이산 위상을 부여했을 때) 종순군이다. (이 경우 셈 확률 측도는 왼쪽·오른쪽 불변 평균을 이룬다.)

(이산 위상을 갖춘) 무한 순환군 $(\mathbb {Z} ,+)$ 은 종순군이다. 그러나 그 위의 불변 평균을 구성하려면 선택 공리가 필요하다. 즉, 이러한 불변 평균을 구체적으로 제시할 수 없다.

두 개 이상의 원소로 생성되는 자유군은 (이산 위상을 부여했을 때) 종순군이 아니다. 또한, 이를 부분군으로 갖는 (이산 위상의) 군은 종순군이 아니다.

종순군의 개념은 존 폰 노이만이 바나흐-타르스키 역설을 다루기 위하여 1929년에 도입하였다.^[3] 폰 노이만은 이 개념을 ‘가측군’(독일어: messbar Gruppe)이라고 일컬었다.

이후 1949년에 말런 데이(영어: Mahlon M. Day)가 ‘종순군’(영어: amenable group)이라는 용어를 도입하였다. 이 용어는 다음과 같은 언어 유희에서 비롯하였다.

영어: amenable 어미너블^[*] → a 어^[*] + mean 민^[*](“평균”) + -able 어블^[*](“~가능”)

↑ Runde, V. (2002). 《Lectures on amenability》. Lecture Notes in Mathematics (영어) 1774. Springer-Verlag. doi:10.1007/b82937. ISBN 978-3-540-42852-7.
↑ Greenleaf, F.P. (1969). 《Invariant means on topological groups and their applications》 (영어). Van Nostrand Reinhold.
↑ von Neumann, J. (1929). “Zur allgemeinen Theorie des Masses” (PDF). 《Fundamenta Mathematicae》 (독일어) 13 (1): 73–111.

Grigorchuk, Rotislav; de la Harpe, Pierre (2014). “Amenability and ergodic properties of topological groups: from Bogolyubov onwards” (영어). arXiv:1404.7030. Bibcode:2014arXiv1404.7030G.

Tao, Terrence (2009년 4월 14일). “Some notes on amenability”. 《What’s New》 (영어). 2017년 6월 7일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2017년 3월 13일에 확인함.
“Why are abelian groups amenable?” (영어). Math Overflow. 2017년 3월 14일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2017년 3월 13일에 확인함.