종순군

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군론에서, 종순군(從順群, 영어: amenable group)은 군의 작용에 불변인 유한 가법 확률 측도를 정의할 수 있는 국소 콤팩트 위상군이다.[1][2]

정의[편집]

종순 작용[편집]

다음이 주어졌다고 하자.

  • 측도 공간
  • 위의 왼쪽 작용 . 또한, 모든 에 대하여 가측 함수라고 하자.

위의 실수 값 ∞-르베그 공간 실수 바나흐 공간이며, 그 위에는 다음과 같은 -왼쪽 작용이 존재한다.

위의 불변 평균은 다음 조건들을 만족시키는, 연속 쌍대 공간의 원소

이다.

  • . 즉, 작용소 노름이 1이다.
  • 임의의 에 대하여, 만약 거의 어디서나 이라면 (즉, 이라면), 이다.
  • 임의의 에 대하여, 이다.

만약 불편 평균이 존재한다면, 군의 작용 종순 작용(영어: amenable action)이라고 한다.

(만약 이산 공간일 경우, 는 유한 가법 측도의 공간과 같다.)

종순군[편집]

국소 콤팩트 하우스도르프 위상군 에는 왼쪽 하르 측도 오른쪽 하르 측도 가 존재한다. 또한, 는 스스로 위의 왼쪽 및 오른쪽 작용을 갖는다. 이 경우, 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 국소 콤팩트 하우스도르프 위상군종순군이라고 한다.

  • 의, 위의 왼쪽 작용은 종순 작용이다.
  • 의, 위의 오른쪽 작용은 종순 작용이다.

성질[편집]

제2 가산 콤팩트 하우스도르프 위상군의 경우 다음 두 조건이 서로 동치이다.

연산에 대한 닫힘[편집]

종순군의 닫힌 부분군은 종순군이다.

종순군의 닫힌 부분군에 대한 몫군은 종순군이다.

유한 개의 종순군의 직접곱은 종순군이다. (그러나 무한 개의 경우 이는 성립하지 못할 수 있다.)

모든 국소 콤팩트 하우스도르프 아벨 군은 종속군이다.

[편집]

모든 유한군은 (이산 위상을 부여했을 때) 종순군이다. (이 경우 셈 확률 측도는 왼쪽·오른쪽 불변 평균을 이룬다.)

(이산 위상을 갖춘) 무한 순환군 은 종순군이다. 그러나 그 위의 불변 평균을 구성하려면 선택 공리가 필요하다. 즉, 이러한 불변 평균을 구체적으로 제시할 수 없다.

두 개 이상의 원소로 생성되는 자유군은 (이산 위상을 부여했을 때) 종순군이 아니다. 또한, 이를 부분군으로 갖는 (이산 위상의) 군은 종순군이 아니다.

역사[편집]

종순군의 개념은 존 폰 노이만바나흐-타르스키 역설을 다루기 위하여 1929년에 도입하였다.[3] 폰 노이만은 이 개념을 ‘가측군’(독일어: messbar Gruppe)이라고 일컬었다.

이후 1949년에 말런 데이(영어: Mahlon M. Day)가 ‘종순군’(영어: amenable group)이라는 용어를 도입하였다. 이 용어는 다음과 같은 언어 유희에서 비롯하였다.

영어: amenable 어미너블[*]a [*] + mean [*](“평균”) + -able 어블[*](“~가능”)

참고 문헌[편집]

  1. Runde, V. (2002). 《Lectures on amenability》. Lecture Notes in Mathematics (영어) 1774. Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-42852-7. doi:10.1007/b82937. 
  2. Greenleaf, F.P. (1969). 《Invariant means on topological groups and their applications》 (영어). Van Nostrand Reinhold. 
  3. von Neumann, J. (1929). “Zur allgemeinen Theorie des Masses” (PDF). 《Fundamenta Mathematicae》 (독일어) 13 (1): 73–111. 

외부 링크[편집]