확률론에서 조건부 확률(條件附確率, 영어: conditional probability)은 주어진 사건이 일어났을 때 다른 한 사건이 일어날 확률을 뜻한다. 원래의 확률 함수를
라고 할 때, 사건
가 일어났을 때 사건
가 일어날 조건부 확률은
로 표기한다.
확률 공간
및 양의 확률의 사건
![{\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8cdf27fd56b3c06d1ddf9ad1efd7cee0a81cb2dc)
![{\displaystyle \operatorname {Pr} (A)>0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/107ce872c3f4b8d211c314d8361e97d2cbf81122)
이 주어졌다고 하자. 임의의 사건
에 대하여,
에 대한
의 조건부 확률은 다음과 같다.
![{\displaystyle \operatorname {Pr} (B|A)={\frac {\operatorname {Pr} (A\cap B)}{\operatorname {Pr} (A)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ebc54eb2ee15f8c54ecff88c4274f4279b89cdd)
이 경우,
는 새로운 확률 공간을 이룬다.
우선
![{\displaystyle \operatorname {Pr} (\Omega |A)={\frac {\operatorname {Pr} (A\cap \Omega )}{\operatorname {Pr} (A)}}={\frac {\operatorname {Pr} (A)}{\operatorname {Pr} (A)}}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73f19f8072684297b80add6304dc61a01ea5cf2e)
이다. 이제 임의의 가산 개의 서로소 사건들
이 주어졌다고 하자. 그렇다면
역시 서로소 사건들이므로
![{\displaystyle \operatorname {Pr} \left(\left.\bigcup {\mathcal {G}}\right|A\right)={\frac {\operatorname {Pr} \left(\bigcup {\mathcal {G}}\cap A\right)}{\operatorname {Pr} (A)}}={\frac {\operatorname {Pr} \left(\bigcup _{B\in {\mathcal {G}}}(A\cap B)\right)}{\operatorname {Pr} (A)}}={\frac {\sum _{B\in {\mathcal {G}}}\operatorname {Pr} (A\cap B)}{\operatorname {Pr} (A)}}=\sum _{B\in {\mathcal {G}}}\operatorname {Pr} (B|A)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e7d7efbf0d100bb95f54ed6e8b6fb094c3f50b7)
이다.
확률 공간
및 두 사건
이 주어졌다고 하자. 만약 한 사건이 양의 확률
을 가질 경우, 두 사건의 교집합의 확률은 조건부 확률을 통해 다음과 같이 나타낼 수 있다.[1]:15
![{\displaystyle \operatorname {Pr} (A\cap B)=\operatorname {Pr} (A)\operatorname {Pr} (B|A)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31252ced291ef8a7cf541e6cdf52580a66066e85)
즉, 두 사건이 동시에 일어날 확률은
가 일어날 확률과
가 일어났을 때
가 일어날 확률의 곱이다. 보다 일반적으로, 임의의
개의 사건
에 대하여, 만약
이라면, 다음이 성립한다.
![{\displaystyle \operatorname {Pr} (A_{1}\cap \cdots \cap A_{n})=\operatorname {Pr} (A_{1})\operatorname {Pr} (A_{2}|A_{1})\operatorname {Pr} (A_{3}|A_{1}\cap A_{2})\cdots \operatorname {Pr} (A_{n}|A_{1}\cap \cdots \cap A_{n-1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/156fbe8ec10da6972a04ac01d61b5646f5d76412)
특히, 두 사건 가운데 하나가 양의 확률
을 가질 경우 다음 두 조건이 서로 동치이다.
는 독립 사건이다.
. 즉
의 조건부 확률과 무조건 확률이 일치한다.
임의의 세 사건
에 대하여, 만약
이라면, 다음 항등식이 성립한다.
![{\displaystyle \operatorname {Pr} ((C|B)|A)=\operatorname {Pr} (C|A\cap B)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8130ccdf4a85b47a86ac45579282f1a4a4eda23)
확률 공간
및 가산 개의 양의 확률의 사건들의 족
![{\displaystyle {\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {F}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d03051664507ccada7397e54600e39a473e36dfb)
![{\displaystyle |{\mathcal {A}}|\leq \aleph _{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87d828169d5644d375cdea45562f15a1e33d7420)
![{\displaystyle \operatorname {Pr} (A)>0\qquad \forall A\in {\mathcal {A}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80e4d11547205703a85d3c3e81b6150d35c1deda)
이 주어졌다고 하고,
가 전체 공간
을 분할한다고 하자. 그렇다면, 임의의 사건
에 대하여, 다음과 같은 항등식들이 성립한다.
(전체 확률의 법칙)
(베이즈 정리)
- ↑ 《수리통계학 입문》 1판. 1995년 3월 10일.