몬티 홀 문제

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세 개의 문 중에서 1번 문 뒤에 차가 있을 것이라 선택했을 때, 진행자는 3번 문 뒤에는 염소가 있음을 보여주면서 1번 문 대신에 2번문을 선택하겠냐고 물었다.

몬티 홀 문제(Monty Hall problem)는 미국TV 게임 쇼 《Let's Make a Deal》에서 유래한 퍼즐이다. 퍼즐의 이름은 이 게임 쇼의 진행자 몬티 홀의 이름에서 따온 것이다. 퍼즐의 내용은 다음과 같다.

세 개의 문 중에 하나를 선택하여 문 뒤에 있는 선물을 가질 수 있는 게임쇼에 참가했다. 한 문 뒤에는 자동차가 있고, 나머지 두 문 뒤에는 염소가 있다. 이때 어떤 사람이 예를 들어 1번 문을 선택했을 때, 게임쇼 진행자는 3번 문을 열어 문뒤에 염소가 있음을 보여주면서 1번 대신 2번을 선택하겠냐고 물었다. 참가자가 자동차를 가지려할 때 원래 선택했던 번호를 바꾸는 것이 유리할까?

이때 진행자는 자동차와 염소가 어떤 문에 있는지 알고 있기 때문에, 진행자가 자동차가 있는 문을 여는 일은 절대 발생하지 않는다.

풀이[편집]

몬티 홀 문제에서 참가자는 선택을 바꾸는 것이 유리하다. 처음 선택한 번호를 바꾸지 않을 때 자동차가 있는 문을 선택할 확률은 1/3이지만, 처음 선택한 번호를 바꾸면 확률은 2/3으로 증가한다.

X를 자동차가 있는 문의 번호, Y를 참가자가 처음 고른 문의 번호, 진행자가 연 문의 번호를 M이라고 하자. 참가자가 1번 문을 골랐을 때 사회자가 3번 문을 열었다고 가정하자. 선택을 바꾸었을 경우, 2번 문 뒤에 자동차가 있을 확률은 조건부 확률베이즈 정리를 이용하여 계산할 수 있다.

이를 그림으로 나타내면 다음과 같다.

자동차가 1번 뒤에 있을 때 자동차가 2번 뒤에 있을 때 자동차가 3번 뒤에 있을 때
참가자가 1번 문을 선택했을 때
참가자가 1번 문을 선택했고 자동차가 1번 문 뒤에 있을 때 참가자가 1번 문을 선택했고 자동차가 2번 문 뒤에 있을 때 참가자가 1번 문을 선택했고 자동차가 3번 문 뒤에 있을 때
참가자가 1번 문을 선택했고 자동차가 1번 문 뒤에 있을 때 참가자가 1번 문을 선택했고 자동차가 2번 문 뒤에 있을 때 참가자가 1번 문을 선택했고 자동차가 3번 문 뒤에 있을 때
사회자는 두 문 모두 열 수 있다. 사회자는 3번 문을 열 수밖에 없다. 사회자는 2번 문을 열 수밖에 없다.
참가자가 1번 문을 선택하고 사회자가 2번 문을 열었을 때 참가자가 1번 문을 선택하고 사회자가 3번 문을 열었을 때 참가자가 1번 문을 선택하였고 자동차가 2번 문 뒤에 있기에 사회자는 3번 문을 열 수밖에 없다 참가자가 1번 문을 선택하였고 자동차가 3번 문 뒤에 있기에 사회자는 2번 문을 열 수밖에 없다
참가자가 1번 문을 선택하고 사회자가 2번 문을 열었을 때 참가자가 1번 문을 선택하고 사회자가 3번 문을 열었을 때 참가자가 1번 문을 선택하였고 자동차가 2번 문 뒤에 있기에 사회자는 3번 문을 열 수밖에 없다 참가자가 1번 문을 선택하였고 자동차가 3번 문 뒤에 있기에 사회자는 2번 문을 열 수밖에 없다
선택을 바꿔서 꽝 1/6 선택을 바꿔서 꽝 1/6 선택을 바꿔서 당첨 1/3 선택을 바꿔서 당첨 1/3
선택을 바꿔서 꽝 1/3 선택을 바꿔서 당첨 2/3

바깥 고리[편집]