몬티 홀 문제

위키백과, 우리 모두의 백과사전.
이동: 둘러보기, 검색
세 개의 문 중에서 1번 문 뒤에 차가 있을 것이라 선택했을 때, 진행자는 3번 문 뒤에는 염소가 있음을 보여주면서 1번 문 대신에 2번문을 선택하겠냐고 물었다.

몬티 홀 문제(Monty Hall problem)는 미국TV 게임 쇼 《Let's Make a Deal》에서 유래한 퍼즐이다. 퍼즐의 이름은 이 게임 쇼의 진행자 몬티 홀의 이름에서 따온 것이다. 퍼즐의 내용은 다음과 같다.

세 개의 문 중에 하나를 선택하여 문 뒤에 있는 선물을 가질 수 있는 게임쇼에 참가했다. 한 문 뒤에는 자동차가 있고, 나머지 두 문 뒤에는 염소가 있다. 이때 어떤 사람이 예를 들어 1번 문을 선택했을 때, 게임쇼 진행자는 3번 문을 열어 문뒤에 염소가 있음을 보여주면서 1번 대신 2번을 선택하겠냐고 물었다. 이때 원래 선택했던 번호를 바꾸는 것이 유리할까?

이때 진행자는 자동차와 염소가 어떤 문에 있는지 알고 있기 때문에, 진행자가 자동차가 있는 문을 여는 일은 발생하지 않는다.

풀이[편집]

몬티 홀 문제에서 참가자는 선택을 바꾸는 것이 유리하다. 처음 선택한 번호를 바꾸지 않을 때 자동차가 있는 문을 선택할 확률은 1/3이지만, 처음 선택한 번호를 바꾸면 확률은 2/3으로 증가한다.

X를 자동차가 있는 문의 번호, Y를 참가자가 처음 고른 문의 번호, 진행자가 연 문의 번호를 M이라고 하자. 참가자가 1번 문을 골랐을 때 사회자가 3번 문을 열었다고 가정하자. 선택을 바꾸었을 경우, 2번 문 뒤에 자동차가 있을 확률은 조건부 확률을 이용하여 계산할 수 있다.

P(X=2|Y=1, M=3)=\frac{P(M=3|X=2, Y=1)P(X=2|Y=1)}{P(M=3|Y=1)}
=\frac{1 \times \frac13}{\frac 12 \times \frac 13 + 1\times\frac 13 + 0 \times \frac 13} = \frac 23

이를 그림으로 나타내면 다음과 같다.

자동차가 1번 뒤에 있을 때 자동차가 2번 뒤에 있을 때 자동차가 3번 뒤에 있을 때
참가자가 1번 문을 선택했을 때
참가자가 1번 문을 선택했고 자동차가 1번 문 뒤에 있을 때 참가자가 1번 문을 선택했고 자동차가 2번 문 뒤에 있을 때 참가자가 1번 문을 선택했고 자동차가 3번 문 뒤에 있을 때
참가자가 1번 문을 선택했고 자동차가 1번 문 뒤에 있을 때 참가자가 1번 문을 선택했고 자동차가 2번 문 뒤에 있을 때 참가자가 1번 문을 선택했고 자동차가 3번 문 뒤에 있을 때
사회자는 두 문 모두 열 수 있다. 사회자는 3번 문을 열 수밖에 없다. 사회자는 2번 문을 열 수밖에 없다.
참가자가 1번 문을 선택하고 사회자가 2번 문을 열었을 때 참가자가 1번 문을 선택하고 사회자가 3번 문을 열었을 때 참가자가 1번 문을 선택하였고 자동차가 2번 문 뒤에 있기에 사회자는 3번 문을 열 수밖에 없다 참가자가 1번 문을 선택하였고 자동차가 3번 문 뒤에 있기에 사회자는 2번 문을 열 수밖에 없다
참가자가 1번 문을 선택하고 사회자가 2번 문을 열었을 때 참가자가 1번 문을 선택하고 사회자가 3번 문을 열었을 때 참가자가 1번 문을 선택하였고 자동차가 2번 문 뒤에 있기에 사회자는 3번 문을 열 수밖에 없다 참가자가 1번 문을 선택하였고 자동차가 3번 문 뒤에 있기에 사회자는 2번 문을 열 수밖에 없다
선택을 바꿔서 꽝 1/6 선택을 바꿔서 꽝 1/6 선택을 바꿔서 당첨 1/3 선택을 바꿔서 당첨 1/3
선택을 바꿔서 꽝 1/3 선택을 바꿔서 당첨 2/3

바깥 고리[편집]