정규화 사슬 복합체

호몰로지 대수학에서 정규화 사슬 복합체(正規化사슬複合體, 영어: normalized chain complex)는 아벨 범주의 단체 대상에 대하여 정의되는 사슬 복합체이다. 이는 아벨 범주의 단체 대상의 범주와 자연수 등급 사슬 복합체의 범주 사이의 동치를 정의하며, 이 동치를 돌트-칸 대응(Dold–Kan對應, 영어: Dold–Kan correspondence)이라고 한다.

정의

무어 복합체

다음이 주어졌다고 하자.

• 아벨 범주 ${\mathcal {A}}$
• 준단체 대상 $M_{\bullet }\colon \triangle _{\operatorname {pre} }^{\operatorname {op} }\to {\mathcal {A}}$

이제, 다음을 정의하자.

$\operatorname {C} _{n}(M)=M_{n}\qquad (n\in \mathbb {N} )$

$\partial _{n}=\sum _{i=0}^{n}(-)^{i}\partial _{n,i}M_{i}\qquad (n\in \mathbb {N} )$

그렇다면, $(\operatorname {C} _{\bullet }(M),\partial _{\bullet })$은 사슬 복합체를 이루며, 이를 준단체 대상 $M_{\bullet }$의 무어 사슬 복합체(영어: Moore chain complex)라고 한다.^{:45, Definition 1.6.2}

증명:

편의상 집합

$S=\{0,\dotsc ,n-1\}\times \{0,\dotsc ,n\}$

및

$S_{+}=\{(i,j)\in S\colon i<j\}$

$S_{-}=\{(i,j)\in S\colon i\geq j\}$

을 정의하자. 이 사이에는 전단사 함수

$S_{+}\to S_{-}$

$(j,i+1)\mapsto (i,j)$

가 존재한다.

그렇다면, 단체 항등식을 사용하면 다음과 같다.

${\begin{aligned}\partial _{n-1}\circ \partial _{n}&=\sum _{(i,j)\in S}\partial _{n-1,i}\circ \partial _{n,j}\\&=\sum _{(i,j)\in S_{+}}(-)^{i+j}\partial _{n-1,i}\circ \partial _{n,j}+\sum _{(i,j)\in S_{-}}(-)^{i+j}\partial _{n-1,i}\circ \partial _{n,j}\\&=\sum _{(i,j)\in S_{-}}\left((-)^{j+i-1}\partial _{n-1,i}\circ \partial _{n,j}+(-)^{i+j}\partial _{n-1,i}\circ \partial _{n,j}\right)=0\end{aligned}}$

사슬 복합체에 대응하는 준단체 대상

다음이 주어졌다고 하자.

• 아벨 범주 ${\mathcal {A}}$
• ${\mathcal {A}}$ 속의 자연수 등급 사슬 복합체

  $\dotsb \to C_{2}{\xrightarrow {\partial _{2}}}C_{1}{\xrightarrow {\partial _{1}}}C_{0}\to 0$

이제, $C_{\bullet }$에 다음과 같은 준단체 대상의 구조를 줄 수 있다.

$M(n)=C_{n}$

$M(\partial _{n,i})\colon C_{n}\to C_{n-1}$

$M(\partial _{n,i})={\begin{cases}0&0\leq i\leq n-1\\(-)^{n}\partial _{n}&i=n\end{cases}}$

퇴화 복합체와 정규화 복합체

다음이 주어졌다고 하자.

• 아벨 범주 ${\mathcal {A}}$
• 단체 대상 $M_{\bullet }\colon \triangle ^{\operatorname {op} }\to {\mathcal {A}}$

이제, 다음을 생각하자.

$f_{n}\colon \coprod _{i=0}^{n-1}s_{n,i}\colon M_{n-1}^{\oplus n}\to M_{n}$

$g_{n}\colon \prod _{i=0}^{n-1}\partial _{n,i}\colon M_{n}\to M_{n+1}^{\oplus n}$

(※ $g_{n}$에서, 합이 $i=n$을 포함하지 않는다.)

그렇다면, 다음을 정의할 수 있다.

$\operatorname {D} _{\bullet }(M)=\operatorname {im} f_{n}$

$\operatorname {N} _{\bullet }(M)=\ker g_{n}$

그렇다면, $(\operatorname {D} _{\bullet }(M),\partial _{\bullet })$와 $(\operatorname {N} _{\bullet }(M),\partial _{\bullet })$ 둘 다 역시 사슬 복합체를 이룬다. $\operatorname {D} _{\bullet }(M)$을 퇴화 사슬 복합체(退化사슬複合體, 영어: degenerate chain complex)라고 하며, $\operatorname {N} _{\bullet }(M)$을 정규화 사슬 복합체(正規化사슬複合體, 영어: normalized chain complex)라고 한다.

퇴화 사슬 복합체의 존재의 증명:

퇴화 사슬의 경계가 퇴화 사슬임을 보여야 한다. 즉, 다음과 같은 꼴의 항등식을 보이면 족하다.

$\partial _{n+1}\circ s_{n,i}=\sum _{j=0}^{n}s_{n,j}\circ \phi _{i,j}$

여기서 $\phi _{i,j}$는 임의의 사상이다.

그런데

${\begin{aligned}\partial _{n+1}\circ \circ s_{n,i}&=\sum _{j=0}^{n+1}(-)^{j}\partial _{n+1,j}\circ s_{n,i}\\&=\sum _{j=0}^{i-1}(-)^{j}\partial _{n+1,j}\circ s_{n,i}+\sum _{j=i}^{i+1}(-)^{j}\partial _{n+1,j}\circ s_{n,i}+\sum _{j=i+1}^{n+1}(-)^{j}\partial _{n+1,j}\circ s_{n,i}\\&=\sum _{j=0}^{i-1}(-)^{j}s_{n-1,i-1}\circ \partial _{n,j}+\sum _{j=i}^{i+1}(-)^{j}+\sum _{j=i+1}^{n+1}(-)^{j}s_{n-1,i}\circ \partial _{n,j-1}\\&=s_{n-1,i-1}\circ \left(\sum _{j=0}^{i-1}(-)^{j}\partial _{n,j}\right)-s_{n-1,i}\circ \left(\sum _{j=i}^{n}(-)^{j}\partial _{n,j}\right)\\\end{aligned}}$

이다.

정규화 사슬 복합체의 존재의 증명:

$g_{n+1}$의 핵의 경계가 $g_{n}$의 핵임을 보여야 한다. 즉, 다음과 같은 꼴의 항등식을 보이면 족하다.

$\partial _{n,i}\circ \partial _{n+1}=\sum _{j=1}^{n}\phi _{i,j}\circ \partial _{n+1,j}\qquad (j<n)$

여기서 $\phi _{i,j}$는 임의의 사상이다.

그런데

${\begin{aligned}\partial _{n,i}\circ \partial _{n+1}&=\sum _{j=0}^{n+1}\partial _{n,i}\circ \partial _{n+1,j}\\&=\left(\sum _{j=0}^{n}\partial _{n,i}\circ \partial _{n+1,j}\right)+(-)^{n+1}\partial _{n,i}\circ \partial _{n+1,n+1}\\&=\left(\sum _{j=0}^{n}\partial _{n,i}\circ \partial _{n+1,j}\right)+(-)^{n+1}\partial _{n,n}\circ \partial _{n+1,i}\\\end{aligned}}$

이다.

준단체 대상에 대응하는 단체 대상

우선, 다음 기호를 정의하자.

• $\operatorname {Surj} (n,m)\subseteq \hom _{\triangle }(n,m)$은 모든 전사 증가 함수 $\{0,1,\dotsc ,n\}\twoheadrightarrow \{0,1,\dotsc ,m\}$ ($0\leq m\leq n$)들의 집합이다.

아벨 범주 ${\mathcal {A}}$ 속의 준단체 대상

$C\colon \triangle _{\operatorname {pre} }^{\operatorname {op} }\to {\mathcal {A}}$

이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 ${\mathcal {A}}$ 위의 단체 대상을 정의할 수 있다.

$\sigma (C_{n})=\bigoplus _{m=0}^{n}\bigoplus _{\operatorname {Surj} (n,m)}C_{m}$

즉, 각 $\phi \in \operatorname {Surj} (n,m)$에 대하여 포함 사상

$\beta _{\phi }\colon C_{m}\hookrightarrow \sigma (C_{n})$

이 있다.

그 위의 단체 대상 구조는 다음과 같다. 단체 범주 $\triangle$ 속의 임의의 사상(증가 함수)은 전사 증가 함수와 단사 증가 함수의 합성으로 유일하게 표현된다.

임의의 단체 범주 사상

$f\in \hom _{\triangle }(m,n)$

에 대하여,

$\sigma (f)\colon \sigma (C_{n})\to \sigma (C_{m})$

은 다음과 같다.

$\sigma (f)=\coprod _{\scriptstyle g\in \operatorname {Surj} (n,k) \atop \scriptstyle \iota \circ \phi =g\circ f}\beta _{\phi }\circ C(\iota )$

여기서,

• $\iota \circ \phi =g\circ f$은 $(\iota ,\phi )$가 $g\circ f\in \hom _{\triangle }(m,k)$의, 단사 함수($\iota \colon \{0,\dotsc ,n'\}\hookrightarrow \{0,\dotsc ,k\}$)와 전사 함수($\phi \colon \{0,\dotsc ,m\}\twoheadrightarrow \{0,\dotsc ,n'\}$)로의 (유일한) 분해임을 뜻한다.
• $C(\iota )\colon C_{k}\to C_{n'}$은 함자 $C\colon \triangle _{\operatorname {pre} }^{\operatorname {op} }\to {\mathcal {A}}$ 아래의, $\iota \in \hom _{\triangle _{\operatorname {pre} }}(n',k)$의 상이다.

성질

짧은 완전열

아벨 범주 ${\mathcal {A}}$ 속의 단체 대상 $M_{\bullet }$에 대하여, 다음과 같은 사슬 복합체의 짧은 완전열이 존재한다.

$0\to \operatorname {D} _{\bullet }(M)\to \operatorname {C} _{\bullet }(M)\to \operatorname {N} _{\bullet }(M)\to 0$

즉,

$\operatorname {N} _{\bullet }(M)\cong {\frac {\operatorname {C} _{\bullet }(M)}{\operatorname {D} _{\bullet }(M)}}$

이다.

정규 사슬 복합체의 표준 분해

아벨 범주 ${\mathcal {A}}$ 속의 단체 대상 $M_{\bullet }$에 대하여, 다음과 같은 표준적인 동형이 존재한다.

$i_{n}\colon \bigoplus _{m=0}^{n}\bigoplus _{\operatorname {Surj} (n,m)}\operatorname {N} _{k}(M)\cong \operatorname {C} _{n}(M)$

이 동형 사상은 다음과 같이 주어진다.

$i_{n}=\coprod _{m=0}^{n}\coprod _{f\in \operatorname {Surj} (n,m)}M(f^{\operatorname {op} })$

여기서

$M(f^{\operatorname {op} })\colon \operatorname {N} _{m}(M)\to M_{n}$

은 함자 $M\colon \triangle ^{\operatorname {op} }\to {\mathcal {A}}$ 아래 $f^{\operatorname {op} }\in \hom _{\triangle ^{\operatorname {op} }}(m^{\operatorname {op} },n^{\operatorname {op} })$의 상이다.

돌트-칸 대응

아벨 범주 ${\mathcal {A}}$ 위에서, 다음과 같은 범주의 동치가 존재한다.

$\operatorname {s} ({\mathcal {A}})\leftrightarrows \operatorname {Ch} _{\geq 0}({\mathcal {A}})$

여기서

• $\operatorname {s} ({\mathcal {A}})$는 ${\mathcal {A}}$ 위의 단체 대상의 범주이다.
• $\operatorname {Ch} _{\geq 0}({\mathcal {A}})$는 ${\mathcal {A}}$ 위의, 자연수 (음이 아닌 정수) 등급의 사슬 복합체들의 범주이다.

이 동치를 정의하는 함자는 다음과 같다.

• $\operatorname {N} \colon \operatorname {s} ({\mathcal {A}})\to \operatorname {Ch} _{\geq 0}({\mathcal {A}})$는 단체 대상에 대응되는 정규화 사슬 복합체이다.
• $\Gamma \colon \operatorname {Ch} _{\geq 0}({\mathcal {A}})\to \operatorname {s} ({\mathcal {A}})$는 자연수 등급 사슬 복합체에 대응되는 준단체 대상에 대응되는 단체 대상이다.

또한, 이 범주의 동치는 자연 동형으로부터 유도된다. 즉, 자연 동형

$\operatorname {N} \circ \operatorname {\Gamma } \Rightarrow 1_{\operatorname {Ch} _{\geq 0}({\mathcal {A}})}$

$\operatorname {\Gamma } \circ \operatorname {N} \Rightarrow 1_{\operatorname {s} ({\mathcal {A}})}$

가 존재한다. 이에 따라, 이들은 두 가지 방향으로 수반 함자를 이룬다.

$\operatorname {N} \dashv \operatorname {\Gamma }$

$\operatorname {\Gamma } \dashv \operatorname {N}$

모형 구조

돌트-칸 대응을 사용하여, $\operatorname {Ch} _{\geq 0}({\mathcal {A}})$ 위의 모형 범주 구조를 $\operatorname {s} ({\mathcal {A}})$에 부여할 수 있다. 이에 따라, 돌트-칸 대응은 $\operatorname {Ch} _{\geq 0}({\mathcal {A}})$와 $\operatorname {s} ({\mathcal {A}})$ 사이의 퀼런 동치를 이룬다.

이 경우, $\operatorname {s} ({\mathcal {A}})$의 약한 동치는 단체 대상의 사상 가운데, (단체 집합으로서) 모든 차수의 단체 호모토피 군의 동형을 유도하는 것이다.

역사

돌트-칸 대응은 알브레히트 돌트와 다니얼 칸이 1958년에 독자적으로 발견하였다. (칸은 이 논문에서 칸 확대의 개념을 같이 도입하였다.) 돌트의 첫 논문은 가군의 범주에 국한되었으나, 이후 돌트와 디터 푸페는 곧 이를 임의의 아벨 범주에 대하여 일반화하였다.

외부 링크

• “Moore complex”. 《nLab》 (영어). 
• “Dold-Kan correspondence”. 《nLab》 (영어). 
• “Monoidal Dold-Kan correspondence”. 《nLab》 (영어). 
• “Simplicial group”. 《nLab》 (영어). 
  • “Model structure on simplicial groups”. 《nLab》 (영어). 

• Mathew, Akhil. “The Dold–Kan correspondence” (PDF) (영어). 2016년 9월 13일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2017년 7월 30일에 확인함. 
• Raksit, Arpon (2015년 1월 17일). “The Dold–Kan correspondence” (PDF) (영어). 2017년 9월 21일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2017년 7월 30일에 확인함. 
• de Jong, Johan (2013년 8월 1일). “Simplicial modules”. 《Stacks Project Blog》 (영어). 2017년 12월 24일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2017년 7월 30일에 확인함.