범주론에서, 여과 범주(濾過範疇, 영어: filtered category)는 상향 원순서 집합의 개념의 범주론적 일반화이다. 여과 범주를 정의역으로 하는 쌍대 극한은 유한 극한과 가환한다.
정칙 기수
가 주어졌다고 하자. 범주
가 다음 조건들을 만족시킨다면,
-여과 범주라고 한다.
- 임의의 작은 범주
및 함자
에 대하여, 만약
의 사상 집합의 크기가
미만이라면,
는 쌍대뿔(영어: cocone)을 갖는다.
-여과 범주는 단순히 여과 범주라고 한다.
마찬가지로,
-쌍대 여과 범주(영어:
-cofiltered category)는
-여과 범주의 반대 범주이다.
범주
에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
-여과 범주이다.
- 다음 세 조건들을 만족시킨다.
- 하나 이상의 대상을 갖는다. (이는
가 아무 대상을 갖지 않을 때의 경우이다.)
- (두 대상의 상계의 존재) 임의의 두 대상
에 대하여, 대상
및 두 사상
이 존재한다.
- (두 사상의 상계의 존재) 같은 정의역과 공역을 갖는 두 사상
에 대하여,
가 되는 대상
및 사상
가 존재한다.
![{\displaystyle {\begin{matrix}I&{\overset {f}{\to }}&J\\{\scriptstyle g}{\downarrow }{\color {White}\scriptstyle g}&&{\color {White}\scriptstyle h}{\downarrow }\scriptstyle h\\J&{\underset {h}{\to }}&K\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afe9adf55c46c4a06920928ef9beee73279f94a1)
임의의 완비 범주
및 임의의 작은 범주
에 대하여 극한 함자
![{\displaystyle \varprojlim _{\mathcal {J}}\colon {\mathcal {C}}^{\mathcal {J}}\to {\mathcal {C}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e81e3bdc15b7687483b9ae94c8ddde03fc7cf234)
를 정의할 수 있으며, 임의의 쌍대 완비 범주
및 임의의 작은 범주
에 대하여 쌍대 극한 함자
![{\displaystyle \varinjlim _{\mathcal {J}}\colon {\mathcal {C}}^{{\mathcal {J}}^{\operatorname {op} }}\to {\mathcal {C}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03a588d14cb313d444fd415360d88dc929886f0c)
를 정의할 수 있다. 특히, 작은 범주의 범주는 데카르트 닫힌 범주이므로, 두 개의 작은 범주
,
및 함자
![{\displaystyle D\colon {\mathcal {J}}\times {\mathcal {I}}^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Set} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0728957c0f26b8e56b7d06baf1a920e523b6cdb3)
![{\displaystyle D\in \operatorname {Set} ^{{\mathcal {J}}\times {\mathcal {I}}^{\operatorname {op} }}\simeq (\operatorname {Set} ^{\mathcal {J}})^{{\mathcal {I}}^{\operatorname {op} }}\simeq (\operatorname {Set} ^{{\mathcal {I}}^{\operatorname {op} }})^{\mathcal {J}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72d6a254e82a4e46a108eadf3109e980a670fd27)
에 대하여, 함자
![{\displaystyle \varinjlim _{\mathcal {I}}D\in \operatorname {Set} ^{\mathcal {J}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22c7a0af7b1626681a9c87ca0446a9a3e9148f78)
![{\displaystyle \varprojlim _{\mathcal {J}}D\in \operatorname {Set} ^{{\mathcal {I}}^{\operatorname {op} }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af0b5533eefaea6212f32244ed5779cd2cd80b6a)
및 집합
![{\displaystyle \varinjlim _{\mathcal {J}}\varprojlim _{\mathcal {I}}D\in \operatorname {Set} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5936fab9f671a11a2467322350e42fde65987846)
![{\displaystyle \varprojlim _{\mathcal {I}}\varinjlim _{\mathcal {J}}D\in \operatorname {Set} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f3c4ec876dde472fd2113c72c22277b85b0f10d)
를 정의할 수 있다. 또한, 극한 또는 쌍대 극한의 보편 성질에 의하여 표준적인 함수
![{\displaystyle \varinjlim _{\mathcal {J}}\varprojlim _{\mathcal {I}}D\to \varprojlim _{\mathcal {I}}\varinjlim _{\mathcal {J}}D}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c26c2d7a40e3d6e6a5252c65e428bc871de5fe08)
가 존재한다.
작은 범주
에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
-여과 범주이다.
- (극한과 쌍대 극한의 교환 법칙) 임의의 유한 개의 사상들을 갖는 범주
및 임의의 함자
에 대하여, 표준적인 사상
는 항상 전단사 함수이다.