리 대수 이론에서, 리 쌍대대수(Lie雙對代數, 영어: Lie coalgebra)는 리 대수의 정의를 쌍대화하여 얻어지는 쌍대대수이다.
가환환
위의 리 쌍대대수는 다음과 같은 데이터로 주어진다.
-가군 ![{\displaystyle V}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af0f6064540e84211d0ffe4dac72098adfa52845)
-가군 준동형 ![{\displaystyle \mathrm {d} \colon V\to V\wedge V}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a302562a4c95ed7f267072319933aac3c78e5cef)
여기서
![{\displaystyle V\wedge V={\frac {V\otimes V}{(u\otimes u\colon u\in V)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f298ce73898e8af09cd0740ea675eec276121ab)
는 외대수의 2차 성분이다. 이를 외대수
위에 다음과 같은 곱 규칙을 따르는 미분으로 유일하게 확장할 수 있다.
![{\displaystyle \mathrm {d} \colon \bigwedge ^{\bullet }V\to \bigwedge ^{\bullet +1}V}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6faf272079f5462150e3b7a5ff2a91631f287fb)
![{\displaystyle \mathrm {d} (a\wedge b)=(\mathrm {d} a)\wedge b+(-)^{\deg a}a\wedge \mathrm {d} b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1bc4f4f4632f8b850d6db27765a526d1f98535dd)
이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
는 공사슬 복합체를 이룬다. 즉,
이어야 한다.
만약
가 표수 2 또는 표수 3이 아닌 체이며,
가 유한 차원
-벡터 공간이라고 할 때, 다음 두 데이터가 서로 동치이다.
위의 리 쌍대대수 구조 ![{\displaystyle \mathrm {d} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a15022657616b297a2c995d1b314a3aa3442c0cb)
위의 리 대수 구조 ![{\displaystyle [-,-]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ba9b4dfaeae181a7a507d66e1b54fb640a7c61d)
구체적으로, 이들 사이의 관계는 다음과 같다.
![{\displaystyle \langle a|[x,y]\rangle =\langle \mathrm {d} a|x\wedge y\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ad73047eaae7f0cafabf3ba5e6ee65cd4d7611f)
여기서
은
와 그 등급별 쌍대 공간 사이의 내적이다.
리 준쌍대대수(Lie準雙對代數, 영어: Lie coalgebroid)는 다음과 같다.
- 매끄러운 다양체
![{\displaystyle M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd)
- (유한 차원) 매끄러운 벡터 다발
![{\displaystyle E\twoheadrightarrow M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36c8ba12449f15e9dc975bf107b2e3fecfb978c7)
위의 미분을 정의하는 벡터 다발 사상
. 이는
위의 공사슬 복합체 구조를 정의하여야 한다.
이는 쌍대화를 통하여
위의 리 준대수 구조와 동치이다.
매끄러운 다양체
위의 공변접다발
은 리 준쌍대대수를 이루며, 그 쌍대괄호는 1차 미분 형식의 외미분이다. 이는 미분 형식들의 공사슬 복합체
![{\displaystyle (\Omega (M),\mathrm {d} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0beb61f1c14214fdfc086108945c0b9761b9d515)
를 정의한다.