대각화 가능 행렬

선형대수학에서 대각화 가능 행렬(對角化可能行列, 영어: diagonalizable matrix)은 적절한 가역 행렬로의 켤레를 취하여 대각 행렬로 만들 수 있는 정사각 행렬이다.

정의

환 $K$ 위의 $n\times n$ 정사각 행렬 $M\in \operatorname {Mat} (n;K)$이 다음 조건을 만족시킨다면, 대각화 가능 행렬이라고 한다.

• $G^{-1}MG$이 대각 행렬이 되는 가역 행렬 $G\in \operatorname {Unit} (\operatorname {Mat} (n;K))$이 존재한다.

성질

연산에 대한 닫힘

환 $K$ 위의 정사각 행렬 $M\in \operatorname {Mat} (n;K)$이 대각화 가능 행렬이라면, 임의의 자연수 $k\in \mathbb {N}$에 대하여 $M^{k}\in \operatorname {Mat} (n;K)$ 역시 대각화 가능 행렬이다.

증명:

만약 $G\in \operatorname {Unit} (\operatorname {Mat} (n;K))$에 대하여 $G^{-1}MG=\operatorname {diag} (a_{1},\dotsc ,a_{n})$가 대각 행렬이라고 하자. 그렇다면,

$\operatorname {diag} (a_{1}^{k},\dotsc ,a_{n}^{k})=\operatorname {diag} (a_{1},\dotsc ,a_{n})^{k}=(G^{-1}MG)^{k}=G^{-1}M^{k}G$

이다.

또한, 만약 추가로 $K$가 대수적으로 닫힌 체이며 $M$이 가역 행렬이라면, 임의의 정수 $k\in \mathbb {Z}$에 대하여 $M^{k}\in \operatorname {Mat} (n;K)$ 역시 대각화 가능 행렬이다.

그러나 대각화 가능 행렬의 합이나 곱은 (심지어 복소수체 위에서도) 일반적으로 대각화 가능 행렬이 아니다.

필요 조건과 충분 조건

체 $K$ 위의 $n\times n$ 정사각 행렬 $M\in \operatorname {Mat} (n;K)$에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.

• $M$은 대각화 가능 행렬이다.
• $M$의 고유 공간들의 차원들의 합이 $n$이다.
• $p(M)=0$이 되는 최소차 일계수 다항식 $p\in K[x]$의 차수가 $k$라고 할 때, $p$는 $k$개의 서로 다른 (중복되지 않는) 근들을 갖는다.

체 $K$ 위의 $n\times n$ 정사각 행렬 $M\in \operatorname {Mat} (n;K)$에 대하여 다음 조건을 만족시키는 행렬은 대각화 가능 행렬이다.

• 고유 다항식 $\chi _{M}(x)=\det(x-M)\in K[x]$은 $n$개의 서로 다른 (중복되지 않는) 근을 갖는다.

이는 충분 조건이지만, 필요 조건이 아니다.

대각화 가능 행렬의 밀도

복소수체 위에서, 대각화 가능 행렬들의 부분 공간은 $n^{2}$차원 아핀 공간 $\operatorname {Mat} (n;\mathbb {C} )$의 부분 공간을 이루며, 그 여집합은 영집합이다 (그 르베그 측도가 0이다). 즉, 거의 모든 복소수 정사각 행렬은 대각화 가능 행렬이다.

반면, 실수체 위에서, 만약 $n\geq 2$일 경우 이는 더 이상 성립하지 않는다.

동시 대각화

환 $K$ 위의 $n\times n$ 정사각 행렬들의 족 ${\mathcal {M}}\subseteq \operatorname {Mat} (n;K)$이 주어졌다고 하자. 만약 다음 조건을 만족시키는 가역 행렬 $G\in \operatorname {Unit} (\operatorname {Mat} (n;K))$이 존재한다면, ${\mathcal {M}}$을 동시 대각화 가능 행렬족(同時對角化可能行列族, 영어: simultaneously diagonalizable family of matrices)이라고 한다.

• 임의의 $M\in {\mathcal {M}}$에 대하여, $G^{-1}MG$는 대각 행렬이다.

체 $K$ 위의 $n\times n$ 정사각 행렬들의 족 ${\mathcal {M}}\subseteq \operatorname {Mat} (n;K)$에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.^{:206, §6.5; 207, §6.5, Theorem 3}

• ${\mathcal {M}}$은 동시 대각화 가능 행렬족이다.
• $M$의 모든 원소는 대각화 가능 행렬이며, ${\mathcal {M}}$은 가환 행렬족이다 (즉, 임의의 $M,N\in {\mathcal {M}}$에 대하여 $MN=NM$).

예

모든 대각 행렬은 대각화 가능 행렬이다. 특히, 모든 1×1 행렬은 자명하게 대각화 가능 행렬이다.

대각화 불가능 행렬

임의의 체 $K$에서, 행렬

${\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\in \operatorname {Mat} (2;K)$

은 대각화될 수 없다. 이 행렬의 고윳값은 0 밖에 없으며, 그 고유 공간은 1차원이다.

다음과 같은 행렬을 생각하자.

${\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}\in \operatorname {Mat} (2;K)$

$K$가 체일 때, 이 행렬이 대각화 가능 행렬이 될 필요 충분 조건은 다음과 같다.

• $K$에서 $-1$이 두 개의 제곱근을 갖는다.

즉, 만약 $K$의 표수가 2가 아니며, $-1$의 제곱근 $\mathrm {i} \in K$가 존재할 경우 이 행렬은 두 고윳값 $\pm \mathrm {i}$을 가지며, 따라서 대각화 가능 행렬이다. 만약 $K$에서 $-1$이 제곱수가 아닐 경우, 이 행렬은 고윳값을 갖지 않으며, 따라서 대각화 가능 행렬이 아니다. 만약 $K$의 표수가 2일 경우, $-1=1$은 하나의 제곱근만을 가지며, 이 행렬은 하나의 고윳값 (1)을 가지며, 그 고유 공간은 1차원이므로, 따라서 이 행렬은 대각화 가능 행렬이 아니다.

대각화의 예

임의의 환 $K$에서, 다음과 같은 행렬을 생각하자.

$M={\begin{pmatrix}1&2&0\\0&3&0\\2&-4&2\end{pmatrix}}\in \operatorname {Mat} (3;K)$

이는 세 개의 고윳값

$\lambda _{1}=3,\quad \lambda _{2}=2,\quad \lambda _{3}=1$

을 가져, 대각화 가능 행렬을 이룬다.

각 고윳값의 고유 벡터는 다음과 같다.

$v_{1}={\begin{pmatrix}-1\\-1\\2\end{pmatrix}},\quad v_{2}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}},\quad v_{3}={\begin{pmatrix}-1\\0\\2\end{pmatrix}}$

따라서,

$P={\begin{pmatrix}v_{1}&v_{2}&v_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1&0&-1\\-1&0&0\\2&1&2\end{pmatrix}}$

$P^{-1}={\begin{pmatrix}0&-1&0\\2&0&1\\-1&1&0\end{pmatrix}}$

를 정의하면,

$P^{-1}MP=\operatorname {diag} (3,2,1)$

이 된다.

참고 문헌

• Anton, H.; Rorres, C. (2000년 2월 22일). 《Elementary Linear Algebra (Applications Version)》 (영어) 8판. John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-17052-5. 
• Hetzel, Andrew J.; Liew, Jay S.; Morrison, Kent E. (2007년 6월). “The probability that a matrix of integers is diagonalizable” (PDF). 《The American Mathematical Monthly》 (영어) 114 (6): 491–499. JSTOR 27642247. 2015년 12월 2일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2018년 4월 27일에 확인함. 

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Matrix diagonalization”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Diagonalizable matrix”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.