군론에서 군의 확대(群-擴大, 영어: group extension)는 군을 정규 부분군과 몫군으로 나타내는 방법이다.
군의 범주에서, 다음과 같은 짧은 완전열이 있다고 하자.
![{\displaystyle 1\rightarrow N{\xrightarrow {\iota }}G{\xrightarrow {\pi }}Q\rightarrow 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/162122580382e5df0021b5dacf0c509e0d873758)
즉,
![{\displaystyle G/\iota (N)\cong Q}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41cf49aad0ea54cd3b45532b5d2eab1ff780deb4)
이다. 그렇다면
를
에 의한
의 확대(영어: extension of Q by N)라고 한다.
만약
이
의 중심의 부분군이라면, 즉
![{\displaystyle \iota (N)\subset Z(G)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6708750189ee2999c64f008fe37290996f409a03)
이라면 이를 중심 확대(中心擴大, 영어: central extension)라고 한다.
의
로의 두 확대
![{\displaystyle 1\to N{\xrightarrow {\iota }}G{\xrightarrow {\pi }}Q\to 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1226854933bd4908e8499f909c483bf39e2148c4)
![{\displaystyle 1\to N{\xrightarrow {\iota '}}G'{\xrightarrow {\pi '}}Q\to 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9960e68a8832db6c2aba4cbfbf6474750f8e39a7)
에 대하여, 만약 다음 그림
![{\displaystyle {\begin{matrix}1&\to &N&{\xrightarrow {\iota }}&G&{\xrightarrow {\pi }}&Q&\to &1\\&&\|&&{\scriptstyle \phi }\downarrow \!{\wr }&&\|\\1&\to &N&{\xrightarrow[{\iota '}]{}}&G'&{\xrightarrow[{\pi '}]{}}&Q&\to &1\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c454064588790d664afdae3927d613c24a7f1e57)
을 가환하게 하는 군 동형
이 존재한다면,
와
을 서로 동형인 확대라고 한다.
군의 확대들의 동형류들은 2차 군 코호몰로지에 의하여 분류된다.
아벨 군의 범주 속에서의 확대[편집]
과
가 아벨 군이며, 확대된 군
역시 아벨 군이라고 하자. 이러한 군의 확대는 Ext 함자에 의하여 분류된다. 구체적으로, 이러한 아벨 군의 범주 속에서의 확대들의 동형류들은
![{\displaystyle \operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} }^{1}(Q,N)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65a0289a09575ba8167198ef741fd0b6b92425b5)
과 표준적으로 일대일 대응한다.
아벨 정칙 부분군의 경우[편집]
이 아벨 군이라고 하자. 그렇다면,
의
에 대한 분류들은 다음과 같은 집합과 표준적으로 일대일 대응한다.
![{\displaystyle \bigsqcup _{\phi \in \hom(Q,\operatorname {Aut} N)}\operatorname {H} _{\phi }^{2}(Q,N)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a451c64c41ae24d69fb3a2ad8847971c4cda729)
여기서
은
을 작용
를 갖춘
-가군으로 보았을 때의 2차 군 코호몰로지이다. 즉, 군의 확대
가 주어졌을 때, 자연스러운 준동형
![{\displaystyle \phi \colon Q\to \operatorname {Aut} N}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcc3b038854a27a74635424b67242a150ec3ec21)
![{\displaystyle \phi \colon q\mapsto (n\mapsto qnq^{-1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45cdca59832e6f16324ab22fc2ec9147f480a862)
이 유도되는데, 주어진 준동형
에 대응하는 확대들은 2차 군 코호몰로지
과 표준적으로 대응한다. 이는 반직접곱
가 표준적인 밑점(영어: basepoint)을 제공하기 때문이다.
특히,
의 아벨 군
에 대한 중심 확대는 자명한 작용
에 대응하며, 중심 확대는 자명한
-가군 계수의 2차 군 코호몰로지
와 표준적으로 일대일 대응한다.
무중심 정칙 부분군의 경우[편집]
의 중심이 자명군일 경우,
의
에 대한 확대의 동형류들은 군 준동형
![{\displaystyle Q\to \operatorname {Out} N=\operatorname {Aut} N/\operatorname {Inn} N}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b12c607bc8023029431525f31313e8ce722480e6)
과 일대일 대응한다.[1]:106, Corollary 6.8; Exercise 6.1
이는 가환 그림
![{\displaystyle {\begin{matrix}1&\to &N&\hookrightarrow &G&\twoheadrightarrow &Q&\to &1\\&&\|&&\downarrow \scriptstyle \phi ^{*}&&\downarrow \scriptstyle \phi \\1&\to &\operatorname {Inn} N&\hookrightarrow &\operatorname {Aut} N&\twoheadrightarrow &\operatorname {Out} N&\to &1\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b62456557158bd30757464d626a74015a8e7d179)
에서,
이
으로부터 완전히 결정되기 때문이다. 특히,
이 자명한 중심을 갖고, 또한 외부자기동형군 역시 자명하다면,
의 모든 확대는 직접곱이다. 이러한 조건을 만족시키는 군을 완비군(完備群, 영어: complete group)이라고 한다.
외부 자기 동형을 갖지 않는 정칙 부분군의 경우[편집]
만약
이 자명군이라면, 준동형
은 자명한 준동형밖에 없다. 이 경우, 모든 확대들은 2차 군 코호몰로지
와 표준적으로 일대일 대응하며,
은 직접곱
에 대응한다.
구체적으로,
![{\displaystyle {\begin{matrix}&&1&&1&&1\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\1&\to &\operatorname {Z} (N)&\hookrightarrow &\operatorname {C} _{G}(N)&\twoheadrightarrow &\operatorname {C} _{G}(N)/\operatorname {Z} (N)&\to &1\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \!\wr \\1&\to &N&\hookrightarrow &G&\twoheadrightarrow &Q&\to &1\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\1&\to &\operatorname {Inn} N&\cong &\operatorname {Aut} N&\to &1\\&&\downarrow &&\downarrow \\&&1&&1\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/844442797dabccd2dd472baa29f24b482fdee160)
이므로, 짧은 완전열
![{\displaystyle 1\to \operatorname {Z} (N)\to \operatorname {C} _{G}(N)\to Q\to 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd1afd3fc0ed24cd5bb32dc5060ce07a5f8c792b)
이 존재한다.
이 아벨 군이며,
의
에 대한 작용은 자명하므로 가능한
들은
과 표준적으로 일대일 대응하며, 주어진
에 대하여
는 짧은 완전열
![{\displaystyle 1\to \operatorname {C} _{G}(N)\to G\to \operatorname {Aut} N\to 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a8bde0d5b7c48080567dfc6f50cdbea0b1e794a)
에서 유일하게 결정된다.
일반적 정칙 부분군의 경우[편집]
일반적인
의 경우, 군의 확대의 동형류들은 여전히 2차 코호몰로지와 일대일 대응하지만, 밑점(영어: basepoint)이 유일하지 않으므로 이 대응은 더 이상 표준적이지 않다.
구체적으로, 확대
![{\displaystyle 1\to N\to G\to Q\to 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f135b816ed008ccd9fea1ded3ece0734de3e7fc)
가 주어졌을 때, 표준적인 군 준동형
![{\displaystyle Q\to \operatorname {Out} N=\operatorname {Aut} N/\operatorname {Inn} N}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b12c607bc8023029431525f31313e8ce722480e6)
이 존재한다. 임의의 준동형
에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.[1]:105, Theorem 6.7
를 유도하는 군의 확대
가 존재한다.
- 어떤 특정한
에 대하여,
이다.
즉,
를 통한 확대의 존재에 대한 걸림돌은 3차 군 코호몰로지의 특정 원소이다.
만약 위 조건이 성립한다면,
를 통한 임의의 두 확대
에 대하여, 둘의 "차이"를 표준적으로
과 일대일 대응시킬 수 있다.[1]:105, Theorem 6.6 즉,
를 통한 확대들은
과 일대일 대응하지만, 이 대응은 표준적이지 않다. 다만,
가 자명한 작용일 경우, 자명한 확대
를 밑점으로 삼으면 표준적인 일대일 대응을 얻는다.
구체적으로, 이 걸림돌
는 다음과 같다.[1]:105, Theorem 6.7 완전열
![{\displaystyle 1\to \operatorname {Z} (N)\to N\to \operatorname {Aut} N\to \operatorname {Out} N\to 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92191e218513aadd9a2cdab3833c04b107ab83a2)
에 의하여, 원소
![{\displaystyle u\in \operatorname {H} ^{3}(\operatorname {Out} N,\operatorname {Z} (N))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83df12cbcb712a6b87fac2ada3d9f563114fe106)
가 주어진다. 또한, 군 준동형
에 의하여, 코호몰로지 군 사이의 준동형
![{\displaystyle \phi ^{*}\colon \operatorname {H} ^{\bullet }(\operatorname {Out} ,\operatorname {Z} (N))\to \operatorname {H} ^{\bullet }(Q,\operatorname {Z} (N))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b5077cf1ec64207a1dd4481285a9c1907a14d4b)
이 주어진다. 그렇다면
![{\displaystyle \theta =\phi ^{*}u}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e3729a32a3127a11977c1a6dd0f06f934d70d58)
이다.
같이 보기[편집]
- ↑ 가 나 다 라 Brown, K. 《Cohomology of groups》 (영어).
외부 링크[편집]