조화해석학에서 유사 미분 연산자(類似微分演算子, 영어: pseudodifferential operator, 약자 ΨDO)는 미분 연산자와, 매끄러운 함수와의 곱셈의 공통된 일반화이다. 푸리에 변환 공간에서 위치와 운동량에 의존하는 임의의 매끄러운 함수를 곱한 뒤 다시 역변환시키는 연산이다.
유클리드 공간
위의 복소수 값 매끄러운 함수의 집합을
이라고 쓰고, 복소수 값 콤팩트 지지 매끄러운 함수의 집합을
이라고 쓰자.
은 자연스럽게 프레셰 공간을 이루며,
은 자연스럽게 완비 거리화 가능 국소 볼록 공간을 이룬다.
위에 작용하는 유사 미분 연산자는 다음과 같은 꼴의 선형 변환이다.
![{\displaystyle P(x,D)\colon {\mathcal {C}}_{0}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5852501f8cb160bc3fc2a0148d2325cc62b3dc73)
![{\displaystyle P(x,D)\colon u(x)\mapsto {\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}\exp(ix\cdot \xi ){\tilde {P}}(x,\xi ){\hat {u}}(\xi )\,d^{n}\xi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40170e0893639ea0ed37231e2cc7d994c690a4e3)
여기서
![{\displaystyle {\hat {u}}(\xi )=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\exp(-ix\cdot \xi )u(x)\,d^{n}x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bee6705da14530ca104276d8d80846a2d2c0d19)
는
의 푸리에 변환이며,
![{\displaystyle {\tilde {P}}\colon \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/153d3e9981f6c228ef459772c24028f493c4bb11)
![{\displaystyle {\tilde {P}}\colon (x,\xi )\mapsto P(x,\xi )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ad2f2659b2dc67bd20a7e5dc99116bdb908c345)
는 매끄러운 함수이다.
를 유사 미분 연산자
의 표상(表象, 영어: symbol)이라고 한다.
위의 다중지표의 집합을
으로 쓰자. 어떤 정수
에 대하여 유사 미분 연산자
의 표상
가
![{\displaystyle \sup _{(x,\xi )\in \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}}{\frac {|\partial _{\xi }^{\alpha }\partial _{x}^{\beta }P(x,\xi )|}{(1+|\xi |)^{m-|\alpha |}}}<\infty \qquad \forall \alpha ,\beta \in \mathbb {N} ^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95ab91b8159392d9ad125bf29d212e0d2092dede)
를 만족시킨다면,
를
차 유사 미분 연산자라고 한다.
차 표상들의 집합은 보통
으로 쓰며,
차 유사 미분 연산자의 집합은
으로 쓴다. 모든 유사 미분 연산자는
함수로서 연속 함수이다.
유사 미분 연산자의 분포 위의 작용[편집]
위의 분포
![{\displaystyle T\colon {\mathcal {C}}_{0}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})\to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/371dc52ba2c3b9bfe9a5bae4a51dcfd26dc3c532)
가 주어졌다고 하자.
위의 유사 미분 연산자
의 표상이 콤팩트 지지라고 하자. 그렇다면,
를 분포
위에 작용하도록 확장할 수 있다. 구체적으로, 다음과 같다.
![{\displaystyle PT\colon \mathbb {C} _{0}^{\infty }\to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2486c213122b7373177bfb88c1318eed960a60e1)
![{\displaystyle \langle PT|u\rangle =\langle T|P^{*}u\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/733cf864238ce8b542e9450c787c4c9ff3a29c23)
여기서
![{\displaystyle P^{*}\colon {\mathcal {C}}_{0}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {C}}_{0}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ea48b5158a15e4c678f0237aff29fb97c66a4bd)
은
의 에르미트 수반이다.
이에 따라, 콤팩트 지지 표상의 유사 미분 연산자는 분포 공간
위에 작용한다.
![{\displaystyle P\colon {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfb1d3d4547bb480f12c5f20d1cd6b037e83375c)
다양체 위의 유사 미분 연산자[편집]
매끄러운 다양체는 유클리드 공간의 열린집합
들을 매끄러운 추이 사상
![{\displaystyle \phi _{ij}\colon U_{i}\cap U_{j}\to U_{i}\cap U_{j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff26e47da6cfec4f5106567b32e59d12e4c29745)
으로 이어붙여 만든다.
유클리드 공간의 열린집합
및 유사 미분 연산자
![{\displaystyle P\colon {\mathcal {C}}_{0}^{\infty }(U)\to {\mathcal {C}}^{\infty }(V)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c282b1cd10fbc821eec43696c9d6b92905214a7)
및 미분 동형 ("좌표 변환")
![{\displaystyle \iota _{U}\colon U\to U'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9b4faaec05316dfbb80b00e46ab1915707e6bac)
![{\displaystyle \iota _{V}\colon V\to V'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b74a47bb011558a53fb0ce6394481ca0d8ad026)
이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 선형 변환
![{\displaystyle P'\colon {\mathcal {C}}_{0}^{\infty }(U')\to {\mathcal {C}}^{\infty }(V')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28afae05006fd39b8aac7fc3796e7f70700e2bf6)
![{\displaystyle P'\colon u\mapsto \iota _{V}\circ P(f\circ \iota _{U}^{-1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc896925a17a1a641b86c18bfcdbc9ae91a21ea4)
를 정의할 수 있으며, 또한
역시 유사 미분 연산자임을 보일 수 있다. 또한, 만약
가
차 유사 미분 연산자라면
역시
차 유사 미분 연산자이다. 따라서, 좌표 근방계에 조각마다 유사 미분 연산자를 정의한 뒤 이를 짜깁기하여 매끄러운 다양체 위의
차 유사 미분 연산자의 개념을 정의할 수 있다.[1]:§8
고전 유사 미분 연산자[편집]
차 표상
에 대하여, 만약 다음 조건을 만족시키는 표상의 열
가 존재한다면,
를 고전 표상(영어: classical symbol)이라고 한다.[1]:Definition 5.1
는
차 동차함수이다. 즉,
이다.
- 콤팩트 지지 매끄러운 함수
에 대하여, 만약
가 되는 0의 근방
가 존재한다고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.
![{\displaystyle {\tilde {P}}(x,\xi )-\sum _{i=0}^{N-1}(1-\phi (\xi )){\tilde {P}}_{m-i}(x,\xi )\in S^{m-N}\qquad \forall N\in \mathbb {Z} ^{+}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67b62ed5bfeb37e99a28d8ea8854ea355c2987d1)
고전 유사 미분 연산자(영어: classical pseudodifferential operator)는 그 표상이 고전 표상인 유사 미분 연산자이다. 고전 유사 미분 연산자의 집합을
으로 쓰자.
위의, 표상이
인 유사 미분 연산자
에 대하여, 만약
가 콤팩트 지지 함수라면,
의 상은
에 속한다. 즉,
![{\displaystyle P(x,D)\colon {\mathcal {C}}_{0}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {C}}_{0}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14d3c9b4b1c0b021953fc5205d54067e4628a509)
이다.[1]:Theorem 4.2
임의의 미분 연산자
![{\displaystyle \sum _{\alpha \in \mathbb {N} ^{n}}c_{\alpha }\partial _{x}^{\alpha }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a43c571e931aedea5f713774b05183c409d3f157)
의 경우, 그 표상
![{\displaystyle {\tilde {P}}(\xi )=\sum _{\alpha \in \mathbb {N} ^{n}}c_{\alpha }\xi ^{\alpha }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0be6fe7a76439d87066510846717180c464c2b2)
을 정의하면 유사 미분 연산자
![{\displaystyle u(x)\mapsto {\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}\exp(ix\cdot \xi ){\tilde {P}}(\xi ){\hat {u}}(x)\,d^{n}\xi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87e0be2085ebd193e9aff3cf62abe7193fc15b5b)
로 나타낼 수 있다.
마찬가지로, 임의의 매끄러운 함수
에 대하여, 곱셈 연산자
![{\displaystyle u(x)\mapsto f(x)u(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3549aee914eb1fdfcf184ee531bf5bdb4f55dcf)
역시 표상이
인 유사 미분 연산자
![{\displaystyle u(x)\mapsto {\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}\exp(ix\cdot \xi ){\tilde {P}}(x){\hat {u}}(\xi )\,d^{n}\xi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5453b4ea007c87c28b9d8fa67b6fed862bcb15a)
1960년대에 조지프 존 콘(영어: Joseph John Kohn) · 루이스 니런버그 · 라르스 회르만데르 등이
유사 미분 연산자의 이론을 개발하였다. 이후, 유사 미분 연산자의 개념은 아티야-싱어 지표 정리의 증명에 중요한 역할을 하였다.
같이 보기[편집]
외부 링크[편집]