완비 원순서 집합

순서론에서 완비 원순서 집합(영어: complete preordered set, 약자 cpo)은 모든 사슬이 상한을 갖는 원순서 집합이다.

정의

원순서 집합 $(P,\lesssim )$에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이 조건을 만족시키는 $P$를 완비 원순서 집합이라고 한다.

• 모든 사슬의 상한이 존재한다.
• 모든 정렬 사슬의 상한이 존재한다.
• 최소 원소를 가지며, 모든 상향 집합의 상한이 존재한다.
• 최소 원소를 가지며, 표준적인 매장 $\downarrow \colon P\to \operatorname {Ideal} (P)$는 (얇은 작은 범주 사이의 함자로 여겼을 때) 왼쪽 수반 함자를 갖는다.
• 임의의 순서 보존 함수 $f\colon P\to P$의 고정점 집합 $\{a\in P\colon a\sim f(a)\}$은 최소 원소를 갖는다.^{:20–21, Exercise O-2.20, Exercise O-2.21(iv)}

완비 원순서 집합에서, 주 순서 아이디얼 $\downarrow \colon P\to \operatorname {Ideal} (P)$의 왼쪽 수반 함자는 순서 아이디얼의 상한

$\bigvee \colon \operatorname {Ideal} (P)\to P$

${\bigvee }\dashv {\downarrow }$

이다.

보다 일반적으로, 순서수 $\alpha$가 주어졌을 때, 원순서 집합 $(P,\lesssim )$이 다음 조건을 만족시키면, $P$를 $\alpha$-완비 원순서 집합(영어: $\alpha$-complete preordered set)이라고 한다.

• 순서형 $\alpha$ 미만의 모든 정렬 사슬의 상한이 존재한다.

두 완비 원순서 집합 $P$, $Q$ 사이의 함수 $f\colon P\to Q$에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 함수를 완비 원순서 집합의 사상이라고 한다.

• 사슬의 상한을 보존한다. 즉, 임의의 사슬 $C\subseteq P$에 대하여, $f\left(\bigvee C\right)=\bigvee f(C)$
• 최소 원소를 보존하며, 상향 집합의 상한을 보존한다. 즉, $f(\bot _{P})=\bot _{Q}$이며, 임의의 상향 집합 $D\subseteq P$에 대하여 $f\left(\bigvee D\right)=\bigvee f(D)$.
• 정의역과 공역 위에 스콧 위상을 부여하였을 때, 연속 함수이다.

완비 원순서 집합의 사상은 항상 순서 보존 함수이지만, 그 역은 성립하지 않는다.

성질

모든 완비 원순서 집합은 닫힌 원순서 집합이다. 따라서 초른 보조정리를 적용할 수 있다.

격자 $L$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 완비 원순서 집합이다.
• 완비 격자이다.

즉, 완비 원순서 집합은 완비 격자의 개념을 일반화한다.

고정점

완비 원순서 집합 $(P,\lesssim )$ 위의 순서 보존 함수 $f\colon P\to P$의 고정점 집합 $\{a\in P\colon a\sim f(a)\}$은 완비 원순서 집합이다. 이는 타르스키 고정점 정리를 일반화한다.

완비 원순서 집합 $(P,\lesssim )$ 위의 순서 보존 함수들의 집합 $(f_{i}\colon P\to P)_{i\in I}$가 다음 조건을 만족시킨다고 하자.

$\forall i\in I\forall a\in P\colon a\leq f_{i}(a)$

그렇다면, $(f_{i})_{i\in I}$는 최소 공통 고정점을 갖는다.^{:21, Exercise O-2.22}

범주론적 성질

완비 원순서 집합과 그 사상의 범주 $\operatorname {Cpo}$는 데카르트 닫힌 범주를 이룬다.

외부 링크

• “dcpo”. 《nLab》 (영어). 
• “Filter-closed vs. chain-closed”. 《MathOverflow》 (영어). 
• “Cofinal chains in directed sets”. 《MathOverflow》 (영어).