아딘크라 (물리학)

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물리학에서, 아딘크라(영어: adinkra)는 초대칭 대수의 표현을 나타내는 일종의 그래프이다.[1][2]

정의[편집]

자연수 에 대하여, 차원 아딘크라(영어: -dimensional adinkra)는 다음과 같은 데이터로 구성된다.

  • 는 유한 연결 정규 그래프이다. (특히, 같은 양끝을 갖는 변은 존재하지 않으며, 서로 다른 두 꼭짓점 사이의 변의 수는 1개 또는 0개이다.)
  • 위에는 두 개의 색의 그래프 색칠이 주어져 있다. 꼭짓점의 색을 라고 하자. (이는 보손페르미온의 머릿글자이다.) 특히, 이분 그래프이어야 한다.
  • 또한, 의 각 꼭짓점에는 정수가 주어져 있다. 이를 꼭짓점의 계수(영어: rank)라고 하자.
  • 위에는 에 대한 변 색칠이 주어져 있다.
  • 또한, 의 각 변에는 부호 가 붙어 있다. (그러나 같은 부호의 변들이 맞닿을 수 있어, 이는 변 색칠을 이루지 않을 수 있다.)

이 데이터는 다음 조건들을 만족시켜야 한다.

  • 각 변의 양끝은 서로 다른 색의 꼭짓점이며, 그 계수의 차는 1이다.
  • 각 꼭짓점에 닿은 개의 변에 붙은 색들은 모두 서로 다르다.
  • 임의의 두 정수 에 대하여, 또는 가 붙은 변들의 집합은 서로 교차하지 않는, 길이 4의 순환들의 분리 합집합을 이룬다. 또한, 이러한 길이 4의 순환 속에서, 부호가 인 변의 수는 홀수 개(즉, 1개 또는 3개)이다.

아딘크라의 동형[편집]

차원 아딘크라 , 가 주어졌다고 하자. 또한, 각 및 각 계수 에 대하여, 속의 -꼭짓점의 수는 속의 -꼭짓점의 수와 같다고 하자. 또한, 이러한 꼭짓점의 집합을 로 표기하자.

이 두 아딘크라 사이의 C-동형은 다음과 같은 데이터로 주어진다.[1]:§7.2

  • 및 각 계수 에 대하여, 전단사 함수
  • 에 대하여, 부호

이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

  • (색의 보존) 각 변 에 대하여, 의 색 의 색과 같다.
  • (부호의 보존) 임의의 변 의 부호가 이라고 할 때, 의 부호는 이다.

이 데이터는 성분이 에 속하는 가역 행렬로 나타낼 수 있다.

보다 일반적으로, 임의의 복소수 가역 행렬을 허용하면 아딘크라의 동형의 개념을 얻는다. 그러나 이 개념은 아딘크라의 그래프 자체를 그래프 동형이 아닌 다른 그래프로 변환할 수 있다.[1]:§7.2

아딘크라의 크로모토폴로지(영어: chromotopology)는 아딘크라의 정의에서

  • 꼭짓점에 칠해진 색깔
  • 변에 주어진 부호
  • 꼭짓점의 계수 (및 부분 순서)

를 잊고, 대신

  • 그래프 구조
  • 변의 색깔

만을 남긴 구조이다.

성질[편집]

초대칭 표현과의 관계[편집]

생성원 을 갖는 초대칭 대수

를 생각하자. 이는 리 초대수 을 이룬다. 여기서, 해밀토니언 연산자의 단위는 [시간]−1이며, 따라서 초대칭 연산자 의 단위는 [시간]−½이다.

이 경우, 아딘크라 가 주어졌을 때,

를 생각하자. 이 복소수 벡터 공간 위에 다음과 같은 의 표현을 생각하자.

에 대하여, 만약 보손이며 페르미온이라면,
만약 페르미온이며 보손이라면,

이를 아딘크라 에 대응하는 초대칭 표현이라고 한다.

아딘크라와 이 아딘크라에 대응하는 초대칭 표현 (초다중항) 사이의 관계는 다음과 같다.

아딘크라 초다중항
가 붙은 꼭짓점 보손 장
가 붙은 꼭짓점 페르미온 장
초대칭의 작용
변에 붙은 숫자 작용하는 초대칭 연산자
변에 붙은 부호 초대칭 연산자가 작용했을 때 붙는 부호 ()
꼭짓점의 계수 장의 단위 ([시간]k/2에서의 k)

이와 같이 차원 아딘크라로 표시될 수 있는 의 표현을 아딘크라 표현(adinkra表現, 영어: adinkraic representation)이라고 한다.

리만 곡면[편집]

모든 크로모토폴로지에는 표준적으로 어떤 리만 곡면을 대응시킬 수 있으며, 이 대응은 데생당팡을 사용한다.[3]

구체적으로, 차원 아딘크라와, 이 개 변 색깔들의 전순서가 주어졌다고 하자. (후자를 무지개(영어: rainbow)라고 하기도 한다.) 그렇다면,

이에 따라, 아딘크라의 구조는 다음과 같은 데이터에 대응된다.

아딘크라 기하학
크로모토폴로지 (그래프 + 변 색칠) + 변의 색 위의 전순서 리만 곡면리만 구 위의 분지 피복
변에 붙은 부호 (의 동치류) 리만 곡면 위의 스핀 구조
꼭짓점의 계수 리만 곡면 위의 인자

분류[편집]

(아딘크라를 이룰 수 있는) 모든 크로모토폴로지의 분류는 다음과 같다.

-벡터 공간 속의 선형 부호 가운데, 만약 모든 원소 에 대하여 라면, 겹짝 선형 부호(영어: doubly even linear code)라고 한다. (여기서 해밍 거리이다.)

(아딘크라를 이룰 수 있는) 모든 차원 크로모토폴로지는 의 꼴의 그래프로 나타내어진다.[1]:Theorem 4.5 여기서 은 초입방체 크로모토폴로지이며, 는 겹짝 선형 부호이다.

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간단한 예[편집]

2차원 아딘크라의 예는 다음과 같다.

  B
 ¹/ ²
F   F
 ₂\ /₁
  B

여기서 변에 붙은 부호는 검은 색 또는 붉은 색으로 표시하였으며, 꼭짓점의 계수는 그림에서의 높이로 표시된다 (즉, 그림을 하세 도표로 생각한다).

이는 초다중항

을 나타낸다.

1차원 아딘크라의 예는 다음과 같다.

1

이는 초다중항

를 나타낸다.

초입방체 크로모토폴로지[편집]

보다 일반적으로, 임의의 자연수 에 대하여, 차원 초입방체의 꼭짓점과 변으로 이루어진 그래프를 생각하자. 그 꼭짓들의 집합을 유한체 위의 벡터 공간 으로 생각할 수 있다.

이 경우, 각 변에 색

를 부여하자. 그렇다면, 이는 크로모토폴로지를 이룬다. 이를 초입방체 크로모토폴로지(超立方體chromotopology, 영어: hypercube chromotopology)라고 한다.[1]:§4

초입방체가 아닌 크로모토폴로지[편집]

초입방체가 아닌 가장 간단한 연결 크로모토폴로지는 4차원이며, 다음과 같은 이진 선형 부호에 대응한다.

즉, 다음과 같은 꼴이다.[1]:Figure 5 (편의상 변의 색칠을 생략하였다.)

 _ F, G, H _
/    / \    \
B   C   D   E
 \   \ /    /
  `-  A  -´

즉, 여기서 F, G, H는 각각 B, C, D, E와 모두 변으로 연결돼 있지만, F와 G와 H 사이에는 변이 존재하지 않는다.

역사[편집]

아샨티족의 아딘크라 문양

2004년에 마이클 폭스(영어: Michael Faux)와 실베스터 제임스 게이츠 2세(영어: Sylvester James Gates, Jr.)가 초대칭 양자장론을 분석하기 위하여 도입하였다.[2] “아딘크라”라는 단어는 아샨티족의 문화에서 사용되는 일종의 문양인 아딘크라(아칸어: adinkra)에서 유래하였다.

참고 문헌[편집]

  1. Zhang, Yan X. (2011). “Adinkras for mathematicians” (영어). Bibcode:2011arXiv1111.6055Z. arXiv:1111.6055. 
  2. Faux, Michael; Gates, Sylvester James, Jr. (2005). “Adinkras: a graphical technology for supersymmetric representation theory”. 《Physical Review D》 (영어) 71: 065002. Bibcode:2005PhRvD..71f5002F. arXiv:hep-th/0408004. doi:10.1103/PhysRevD.71.065002. 
  3. Doran, Charles; Iga, Kevin; Landweber, Greg; Méndez-Diez, Stefan (2013). “Geometry of N-extended 1-dimensional supersymmetry algebras” (영어). Bibcode:2013arXiv1311.3736D. arXiv:1311.3736. 

외부 링크[편집]