띠그래프

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띠그래프의 예. 각 꼭짓점에 인접한 변들의 집합 위에는 순환 순열이 주어지며, 이 순환은 원형 점선 화살표로 표시되었다.

그래프 이론위상수학에서, 띠그래프(영어: ribbon graph 리본 그래프[*]) 또는 뚱뚱한 그래프(영어: fat graph)는 주어진 꼭짓점에 인접한 변들에 대한 순환 순열이 주어진 그래프이다. 주어진 띠그래프로부터, 이에 대응하는 곡면을 구성할 수 있다.

정의[편집]

그래프 반변(半邊, 영어: half-edge) 또는 유향변(有向邊, 영어: oriented edge)는 꼭짓점 와, 이에 인접한 변 순서쌍이다. (이는 변 쪽 “절반”, 즉 “”로 생각할 수 있다. 이에 따라, 반변의 집합 의 부분 집합이다.

반변의 집합 위에는 다음과 같은 자연스러운 집합의 분할이 존재한다.

띠그래프 는 다음과 같은 데이터로 구성된다.[1]:Definition 1.5

  • 그래프이며, 모든 꼭짓점의 차수는 유한하다. 즉, 임의의 에 대하여 는 유한하다.
  • 전단사 함수(즉, 순열)이며, 다음 조건을 만족시킨다.
    순열 에 따라, 의 순환들로 분할되는데, 이 분할은 과 일치한다.

띠그래프에 대응되는 곡면[편집]

띠그래프 가 주어졌을 때, 다음을 정의하자.

  • 각 꼭짓점 에 대하여, 일 때, -정다각형 . 정다각형의 변들은 각각 와 인접한 반변 들과 대응시킬 수 있으며, 이들은 (시계 반대 방향으로) 에 의하여 정의된 순환 순열에 따라 배치된다.

그렇다면, 이 정다각형의 족 가 주어졌을 때, 이들을 다음과 같이 짜깁기할 수 있다.

  • 각 변 에 대하여, 에서 에 대응하는 변과 에서 에 대응하는 변을 (방향을 보존하며) 짜깁기한다.

그렇다면, 어떤 유향 곡면(2차원 다양체) 를 얻는다. 이를 띠그래프 기하학적 실현(영어: geometric realization)이라고 한다.

띠그래프에 대응되는 리만 곡면[편집]

계량 띠그래프(영어: metric ribbon graph) 는 다음과 같은 데이터로 구성된다.

  • 는 유한 개의 꼭짓점과 변을 갖는 연결 띠그래프이다.
  • 는 각 변에 양의 실수를 대응시키는 함수이다. 이를 변의 길이(영어: length)라고 한다.

그렇다면, 각 계량 띠그래프에 표준적으로 어떤 연결 콤팩트 리만 곡면 및 그 속의 유한 집합 및 이에 대한 슈트레벨 미분을 대응시킬 수 있다.[1]:§5 또한, 의 기하학적 실현과 위상 동형이다.

구체적으로, 계량 띠그래프 에 대하여 다음을 정의하자.

  • . (사실 이는 이 값 이하의 임의의 양의 실수로 놓아도 된다.)
  • 각 꼭짓점 에 대하여, 원 .
  • 각 유향변 에 대하여, 복소평면부분 집합
  • 각 경계 성분 에 대하여, 단위 원
  • 각 유향변 에 대하여, 함수
  • 각 꼭짓점 번째 유향변 에 대하여, 함수
  • 길이 의 경계 성분 에 대하여, 함수

그렇다면,

  • 모든 들과 들과 들을 정칙 함수 들로 짜깁기하여 리만 곡면 를 만들 수 있다. 의 경계들은 모두 에 의하여 덮이므로, 이는 콤팩트 리만 곡면이다.
  • 또한, 들의 원점들은 특별한 유한 집합 을 구성한다.
  • 위의 상수 정칙 이차 미분들은 짜깁기를 통해 위의 정칙 이차 미분을 구성한다. 이는 각 근처에서 2차 을 가져, 슈트레벨 미분을 이룬다. 이 경우, 경계 성분 에 대응되는 양의 실수는 를 구성하는 유향변들의 길이들의 합이다.

띠그래프에 대응되는 벨리 사상[편집]

가 계량 띠그래프이며, 그 어떤 꼭짓점도 차수가 0, 1 또는 2가 아니라고 하자. 그렇다면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.[1]:Theorem 6.5

  • 로 정의되는 리만 곡면 대수적 수의 체 위의 대수 곡선을 이룬다. 즉, 벨리 사상 및 이에 대응되는 데생당팡이 존재한다.
  • 모든 변의 길이가 같다.

성질[편집]

조합론적 성질[편집]

그래프 위의 띠그래프 구조들의 수는 다음과 같다.

여기서 는 꼭짓점의 차수(즉, 꼭짓점과 인접한 변의 수)이다. 특히, 모든 꼭짓점의 차수가 2 이하라면, 띠그래프 구조는 유일하다.

위상수학적 성질[편집]

띠그래프는 (CW 복합체로 여겼을 때) 그 기하학적 실현과 항상 호모토피 동치이지만, 보통 위상 동형이 아니다.

띠그래프 가 주어졌을 때, 전단사 함수

를 생각하자. 그렇다면, 의 순환들을 생각할 수 있다. 그렇다면, 다음 세 집합 사이에는 표준적인 일대일 대응이 존재한다.

  • 순열 의 순환들의 집합
  • 순열 의 순환들의 집합
  • 의 구멍들의 집합

또한, 가 연결 유한 그래프이고, 의 구멍들의 수를 이라고 하고, 그 종수를 라고 할 때, 다음이 성립한다.

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나무[편집]

나무에 대응되는 곡면은 (띠그래프 구조에 상관 없이) 항상 , 즉 하나의 구멍이 뚫린 이다.

순환 그래프[편집]

꼭짓점 개의 순환 그래프는 유일한 띠그래프 구조를 갖는다. 구체적으로, 꼭짓점들을 라고 하면,

이다. 이에 대응하는 곡면은 , 즉 두 개의 구멍이 뚫린 이다. 순환 그래프 의 경우

이며, 순열

둘 다 각각 두 개의 순환을 갖는다. 이에 따라 종수가

임을 알 수 있다.

참고 문헌[편집]

  1. Mulase, Motohico; Penkava, Michael (1998). “Ribbon graphs, quadratic differentials on Riemann surfaces, and algebraic curves defined over ℚ̄”. 《The Asian Journal of Mathematics》 (영어) 2 (4): 875–920. Bibcode:1998math.ph..11024M. arXiv:math-ph/9811024. 

외부 링크[편집]