바일 대수

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환론에서, 바일 대수(영어: Weyl algebra)는 다항식 계수의 미분 연산자로 구성되는 단위 결합 대수이다.

정의[편집]

K 위의 1변수 다항식환 K[x]를 생각하자. 그렇다면,

\sum_{i=1}^nf_i(x)\partial_x^n+\cdots+f_1(x)\partial_x+f_0(x)

와 같은 꼴의 선형 변환 K[x]\to K[x]을 생각할 수 있다. 위와 같은 꼴의 선형 변환들은 덧셈 및 함수의 합성에 대하여 닫혀 있어 을 이룬다. 이를 바일 대수라고 한다.

바일 대수는 두 변수에 대한 자유 단위 결합 대수 K\langle x,p\rangle의, 아이디얼 (xp-px-1)에 대한 몫환으로도 정의할 수 있다.

바일 대수를 일반화하여 n-바일 대수도 정의할 수 있다. 이는 n개의 변수를 가지는 다항식들을 계수로 가지는 미분 연산자들의 환이다. 즉,

\frac{K\langle x_1,\dots,x_n,p_1,\dots,p_n\rangle}{(x_1p_1-p_1x_1-1,\dots,x_np_n-p_nx_n-1)}

이다.

성질[편집]

바일 대수는 나눗셈환 위에서 정의된 행렬환이 아닌 단순환이다. 바일 대수는 영인자를 갖지 않는, 가환환이 아닌 환의 예이다. 또한, 바일 대수는 오레 확장(영어: Ore extension)을 이룬다.

역사[편집]

헤르만 바일양자역학불확정성 원리를 수학적으로 연구하기 위해서 바일 대수를 도입하였다.

바깥 고리[편집]