모형 이론에서, 구조(構造, 영어: structure)는 어떤 주어진 1차 논리 언어의 해석을 갖춘 집합이다.
정의
자연수(음이 아닌 정수)의 집합을
이라고 쓰자.
형(型, 영어: signature)
는 다음과 같은 튜플이다.
는 집합이다.
의 원소를 연산(演算, 영어: operation)이라고 한다.
는 집합이다.
의 원소를 관계(關係, 영어: relation)라고 한다.
는 함수이다.
에 대하여
이라면,
를
항 연산(영어:
-ary operation)이라고 한다.
는 함수이다.
에 대하여
이라면,
를
항 관계(영어:
-ary relation)라고 한다.
형
의 구조
는 다음과 같인 튜플이다.
은 집합이다. 이를 구조의 전체(全體, 영어: universe)라고 한다.
- 각
에 대하여,
이다.
에 대하여,
을 보통
이라고 쓰며,
항 연산
의
에서의 해석(解釋, 영어: interpretation)이라고 한다.
- 각
에 대하여,
이다.
에 대하여,
을 보통
이라고 쓰며,
항 관계
의
에서의 해석(解釋, 영어: interpretation)이라고 한다.
관계를 포함하지 않는 형을 대수적 형이라고 하고, 대수적 형의 구조를 대수적 구조라고 한다.
형의 언어와 명제의 만족
형
의 (1차 논리) 언어(영어: language)
는 다음과 같이 재귀적으로 정의되는 명제들의 집합 및 항(영어: term)의 집합이다.
- 변수
는 항이다 (
).
- 항
및
항 연산
에 대하여,
은 항이다.
- 항
및
항 관계
에 대하여,
는 명제이다.
- 항
에 대하여,
는 명제이다.
- 명제
에 대하여,
는 명제이다.
- 명제
및
에 대하여,
는 명제이다.
- 변수
및 명제
에 대하여, 만약
가 이미
를 포함하지 않는다면,
는 명제이다.
만약
속에 변수
가 등장하지만
가 등장하지 않는다면,
를 자유 변수(영어: free variable)라고 하고,
가 등장한다면
를 제한 변수(영어: bound variable)라고 한다.
형
의 언어에 속하는 명제
가
개의 자유 변수
을 갖는다고 하자. 형
의 구조
및
에 대하여, 다음과 같이 재귀적으로 정의되는 조건이 성립한다면,
이
를 치환
아래 만족시킨다(영어: satisfy)고 하고,
라고 쓴다. 여기서 형의 언어의 논리 기호
,
,
,
은 메타 언어의 논리 기호와 구별하기 위하여 따옴표
속에 적었다.
. 여기서
는 항
속에 등장하는 모든 변수
를 이에 대응하는
로 치환하고,
속에 등장하는 모든 연산
를
으로 치환하여 얻은 원소
이다.
![{\displaystyle M\models R(t_{1},\dots ,t_{n})[{\vec {a}}/{\vec {x}}]\iff R_{M}(t_{1}/[{\vec {a}}/{\vec {x}}],\dots ,t_{n}[{\vec {a}}/{\vec {x}}])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aab806513377389ae6d58e4091c4b16a66aff178)
![{\displaystyle M\models {\text{'}}\phi \land \chi {\text{'}}\iff (M\models \phi )\land (M\models \chi )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0096658775dc3808a32fefbecc43a3c44f56cd88)
![{\displaystyle M\models {\text{'}}\forall y\colon \phi (y){\text{'}}[{\vec {a}}/{\vec {x}}]\iff \forall b\in M\colon M\models \phi [({\vec {a}},b)/({\vec {x}},y)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbbb2c4f7dd401d48b5d1f7673c5744d03e5fbbd)
참고 문헌
바깥 고리