열린 사상 정리 (함수해석학)

함수해석학에서, 열린 사상 정리(-寫像定理, 영어: open mapping theorem) 또는 바나흐-스하우데르 정리(Banach-Schauder theorem, -定理)는 두 바나흐 공간 사이의 전사 유계 작용소가 열린 사상이라는 정리이다.

정의

X, Y가 바나흐 공간이며, A:X→Y가 전사 유계 작용소라 하자. 그렇다면, 열린 사상 정리에 따르면 A는 열린 사상이다. 즉, X의 임의의 열린 집합 G에 대해 A(G)도 Y에서 열린 집합이 된다.^{:Theorem 2.11}

증명

정리를 증명하기 위해서는 A가 X의 단위 열린 공을 Y에서 원점의 적당한 열린 근방으로 보낸다는 것만 증명하면 된다. U, V를 X, Y에서 단위 열린 공이라 하자. 그러면 X는 위상 벡터 공간이므로, 모든 자연수 k에 대하여 kU의 합집합으로 표현된다. A가 전사이므로,

$Y=A(X)=A{\Bigl (}\bigcup _{k\in \mathbb {N} }kU{\Bigr )}=\bigcup _{k\in \mathbb {N} }A(kU).$

베르의 범주 정리에 따라서, 바나흐 공간 Y는 폐포의 내부가 공집합인 집합들의 가산 합집합으로 표현할 수 없으므로, k>0이 존재하여 A(kU)의 닫힘이 공집합이 아닌 내부를 갖는다. 그러므로 Y에서 중심이 c이고 반지름이 r인 열린 공 B(c, r)이 존재하여, A(kU)의 닫힘의 내부에 포함된다. v∈V이면 c + rv와 c가 모두 B(c, r)에 속하고, 그러므로 이들은 A(kU)의 극한점이 된다. 위상 벡터 공간에서의 덧셈 연산의 연속성에 따라 이 둘의 차인 rv 역시 A(kU) - A(kU) ⊆ A(2kU)의 극한점이 된다. A의 선형성에 의해 v는 A(δ⁻¹U)의 닫힘에 속한다.(여기서 δ=r/2k) 따라서 임의의 y∈Y와 ε>0에 대하여 x∈X이 존재해서 다음을 만족한다.

$\ ||x||<\delta ^{-1}||y||$  와  $||y-Ax||<\varepsilon .\quad (1)$

y∈δV를 고정하자. 그러면 (1)에 따라 ||x₁|| < 1 와 ||y − A x₁|| < δ / 2를 만족하는 x₁가 존재한다. 이제 귀납적으로 수열 {x_n}을 다음과 정의하자. 먼저 다음을 가정하면,

$\ ||x_{n}||<2^{-(n-1)}$  와  $||y-A(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n})||<\delta \,2^{-n}\,;\quad (2)$

(1)에서 x_x+1을 다음을 만족하도록 잡을 수 있다.

$\ ||x_{n+1}||<2^{-n}$  와  $||y-A(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n})-A(x_{n+1})||<\delta \,2^{-(n+1)},$

그러면 다시 (2)는 만족된다. 이제 $\ s_{n}:=x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}$ 라 하자. (2)의 첫 번째 부등식에 의해 {s_n}는 코시 열이고, X가 바나흐 공간이므로 이는 적당한 x∈X로 수렴한다. 또 (2)에서 {As_n}는 n이 커짐에 따라 y로 접근하므로, A의 연속성에 의해 Ax = y를 얻는다. 또,

$||x||=\lim _{n\rightarrow \infty }||s_{n}||\leq \sum _{n=1}^{\infty }||x_{n}||<2.$

인데, 이에 따라 모든 y∈δ V가 A(2U)에 속하게 된다. 즉, A(U)은 Y에서 (δ/2)V를 포함한다. 그러므로 A(U)는 Y에서 0의 근방이 된다.

따름정리

열린 사상 정리로부터 곧바로 다음과 같은 따름정리를 유도할 수 있다.

• X, Y가 바나흐 공간이며 A:X→Y가 전단사 유계 작용소라면, A의 역함수 역시 연속이다. (Rudin 1973, 따름정리 2.12)
• X, Y가 바나흐 공간일 때, 선형 변환 A:X→Y가 유계 작용소일 필요충분조건은 이 그래프가 X×Y에서 닫힌 집합인 것이다. (닫힌 그래프 정리)

역사

폴란드의 수학자 스테판 바나흐와 율리우시 스하우데르(폴란드어: Juliusz Paweł Schauder)가 증명하였다.

바깥 고리

• “Open-mapping theorem”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Open mapping theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 

같이 보기

• 닫힌 그래프 정리
• 균등 유계성 원리