Z변환

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수학이나 신호 처리에서 Z 변환(Z-transform)은 실 수열 또는 복소 수열로 나타나는 시간 영역의 신호를 복소 주파수 영역의 표현으로 변환한다.

Z 변환은 연속 시간 신호에 대한 라플라스 변환에 대응하는 이산 시간 영역에서의 변환으로 볼 수 있다.

역사[편집]

Z 변환에 대한 기본적인 생각은 라플라스도 알고 있었고, 1947년에 W. Hurewicz에 의해 선형 상수 계수 차분 방정식을 푸는 유용한 수단으로 다시 알려졌다.[1] Z 변환이라는 이름은 1952년에 콜롬비아 대학의 sampled-data control group에 속한 RagazziniZadeh로 부터 유래되었다.[2][3]

고등 Z 변환은 후에 Jury에 의해 개발되고 대중화 되었다.

정의[편집]

다른 적분 변환들과 마찬가지로 Z 변환은 단방향 또는 양방향 변환으로 정의될 수 있다.

양방향 Z 변환[편집]

연속시간 신호 x[n]의 양방향 Z 변환은 X(z)로 표현되는 formal power series로, 다음과 같이 정의된다.

X(z) = \mathcal{Z}\{x[n]\} = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] z^{-n}.

여기서 n은 정수이고 z는 일반적으로 복소수 이다. 즉, z복소수의 크기 A허수 단위 j, 그리고 편각 \phi를 통해 다음과 같이 표현할 수 있다.

z = A e^{j\phi} = A(\cos{\phi}+j\sin{\phi})\,

단방향 Z 변환[편집]

만약 x[n]n \ge 0에 대해서만 정의되어 있다면 단방향 Z 변환은 다음과 같이 정의된다.

X(z) = \mathcal{Z}\{x[n]\} =  \sum_{n=0}^{\infty} x[n] z^{-n}.

이러한 정의는 신호 처리에서 이산 시간 causal system단위 펄스 응답의 Z 변환을 구하는데 사용될 수 있다. 여기서부터는 별도의 언급이 없는 한 단방향 Z 변환을 고려하기로 한다.

예제[편집]

다음과 같은 신호를 생각해 보자.

x[n] = 1,\quad n = 0,1,2,\ldots.

그러면 x[n]의 Z 변환은 다음과 같이 구해진다.

X(z) = 1 + z^{-1} + z^{-2} + \cdots = \frac{z}{z - 1},\quad 1<|z|.


다음과 같은 신호를 생각해 보자.

x[n] = a^{n},\quad n = 0,1,2,\ldots.

그러면 x[n]의 Z 변환은 다음과 같이 구해진다.

X(z) = 1 + (z/a)^{-1} + (z/a)^{-2} + \cdots = \frac{z}{z - a},\quad a<|z|.


성질[편집]

선형성 (Linearity)[편집]

두 이산 시간 신호 x_{1}[n], x_{2}[n]의 Z 변환을 각각 X_{1}(z), X_{2}(z)라 두면, 상수 a_{1}, a_{2}에 대해 x[n] = a_{1}x_{1}[n] + a_{2}x_{2}[n]의 Z 변환은 다음과 같다


\begin{align}
X(z) &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} (a_1x_1[n]+a_2x_2[n])z^{-n} \\
     &= a_1\sum_{n=-\infty}^{\infty} x_1[n]z^{-n} + a_2\sum_{n=-\infty}^{\infty}x_2[n]z^{-n} \\
     &= a_1X_1(z) + a_2X_2(z).
\end{align}

시간에 대한 평행 이동 (Time shifting)[편집]

양방향 Z 변환의 경우[편집]

이산 시간 신호 x[n]의 Z 변환을 X(z)라 두면 정수 k에 대해 x[n-k]의 Z 변환은 다음과 같다.


\begin{align}
\mathcal{Z}\{x[n-k]\} &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n-k]z^{-n}\\
&= \sum_{m=-\infty}^{\infty} x[m]z^{-(m+k)},\quad m = n-k \\
&= \sum_{m=-\infty}^{\infty} x[m]z^{-m}z^{-k} \\
&= z^{-k}\sum_{m=-\infty}^{\infty}x[m]z^{-m}\\
&= z^{-k}X(z).
\end{align}

단방향 Z 변환의 경우 조금 다르다. 만약 k \ge 1인 경우


\begin{align}
\mathcal{Z}\{x[n-k]\} &= \sum_{n=0}^{\infty} x[n-k]z^{-n}\\
&= \sum_{m=-k}^{\infty} x[m]z^{-(m+k)},\quad m = n-k \\
&= \sum_{m=-k}^{\infty} x[m]z^{-m}z^{-k} \\
&= \sum_{m=-k}^{-1} x[m]z^{-m}z^{-k} + z^{-k}\sum_{m=0}^{\infty} x[m]z^{-m} \\
&= \sum_{m=-k}^{-1} x[m]z^{-(m+k)} + z^{-k}X(z),
\end{align}

k \le -1인 경우


\begin{align}
\mathcal{Z}\{x[n-k]\} &= \sum_{n=0}^{\infty} x[n-k]z^{-n}\\
&= \sum_{m=-k}^{\infty} x[m]z^{-(m+k)},\quad m = n-k \\
&= \sum_{m=-k}^{\infty} x[m]z^{-m}z^{-k} \\
&= -\sum_{m=0}^{-k-1} x[m]z^{-m}z^{-k} + z^{-k}\sum_{m=0}^{\infty} x[m]z^{-m} \\
&= -\sum_{m=0}^{-k-1} x[m]z^{-(m+k)} + z^{-k}X(z).
\end{align}



단방향 Z 변환의 경우[편집]

Z 역변환[편집]

Z 역변환은 다음과 같이 구해진다.

 x[n] = \mathcal{Z}^{-1} \{X(z) \}= \frac{1}{2 \pi j} \oint_{C} X(z) z^{n-1} dz,

여기서 C는 원점을 반시계방향으로 둘러 싸면서 수렴 반경 안에 있는 닫힌 경로이다.


하지만 라플라스 역변환의 경우와 유사하게 대부분의 경우 Z 역변환은 부분분수 분해를 통해 구해진다. 예를 들어 다음과 같은 Z 변환을 생각하자.


X(z) = \frac{3z^{2} - 7z}{z^{2} - 5z + 6}.

부분분수 분해를 통해 X(z)/z는 다음과 같이 표현된다.


\frac{X(z)}{z} = \frac{1}{z-2} + \frac{2}{z-3}.

따라서, X(z) = z/(z-2) + 2z/(z-3)이고 Z 변환의 선형성으로부터 x[n]은 다음과 같이 구해진다.


x[n] = 2^{n} + 2 \cdot 3^{n},\quad n = 0,1,\ldots.

수렴 반경[편집]

응용[편집]

차분방정식의 풀이[편집]

다음과 같이 주어진 상수 계수를 갖는 선형 차분방정식을 생각하자.


x[n-2] - 5x[n-1] + 6x[n] = 0,\quad x[-1] = 1,\; x[-2] = 0.

양변에 Z 변환을 취하면 다음을 얻는다.


\begin{align}
&z^{-2}X(z) + x[-2] + z^{-1}x[-1] - 5z^{-1}X(z) - 5x[-1] + 6X(z) = 0,\\
&\frac{X(z)}{z} = \frac{5z-1}{(3z-1)(2z-1)},\\
&X(z) = -\frac{2}{3}\frac{z}{z - \frac{1}{3}} + \frac{3}{2}\frac{z}{z - \frac{1}{2}}.
\end{align}

따라서, x[n] = -\frac{2}{3} \left(\frac{1}{3}\right)^{n} + \frac{3}{2} \left(\frac{1}{2}\right)^{n}이다.



Z 변환 표[편집]

같이 보기[편집]

참고문헌[편집]

  1. Kanasewich, E. R. (1981). 《Time Sequence Analysis in Geophysics》, 3rd, University of Alberta, 185–186쪽. ISBN 978-0-88864-074-1
  2. Ragazzini, J. R.; Zadeh, L. A. (1952년). The analysis of sampled-data systems. 《Trans. Am. Inst. Elec. Eng.》 71 (II): 225–234.
  3. Leondes, C. T. (1996). 《Digital Control Systems Implementation and Computational Techniques》. Academic Press, 123쪽. ISBN 978-0-12-012779-5

  1. Kamen, E.; Heck, B. (2000), Fundamentals of Signals and Systems: With MATLAB Examples (2nd ed.); Prentice Hall; ISBN 0130172936, 9780130172938.
  2. Ingle, V. K.; Proakis, J. G. (2007), Digital Signal Processing Using Matlab (2nd ed., Int. Stud. Ed.); Thomson.
  3. Nekoogar, F. and Moriarty, G. (1999), Digital control using digital signal processing; Prentice Hall.