열거 기하학
수학에서 열거 기하학(영어: Enumerative geometry)은 주로 교차 기하학을 통해 기하학적 질문에 대한 해의 수를 세는 것과 관련된 대수기하학의 한 분야이다.
아폴로니오스의 문제는 열거 기하학의 가장 초기 사례 중 하나이다. 이 문제는 세 개의 주어진 원, 점 또는 선에 접하는 원의 수와 구조를 묻는다. 일반적으로 주어진 3개의 원에 대한 문제에는 8개의 해가 있으며 이는 23으로 볼 수 있으며 각 접선 조건은 원의 공간에 2차 조건을 부과한다. 그러나 주어진 원의 특별한 배열을 위해 해의 수는 0(해 없음)에서 6까지의 정수일 수도 있다. 아폴로니우스의 문제에 대한 7가지 해결책이 있는 배열은 없다.
주요 방법[편집]
다음과 같은 다양한 방법이 있다.
- 차원 계산
- 베주 정리
- 슈베르트 미적분학, 그리고 보다 일반적으로 코호몰로지 특성류
- 코호몰로지와 교차점 셈의 연결은 푸앵카레 쌍대성이다.
- 때때로 양자 코호몰로지 이론을 통해 곡선, 사상 및 기타 기하학적 대상의 모듈라이 공간에 대한 연구. 양자 코호몰로지, 그로모프–위튼 불변량 및 거울 대칭에 대한 연구는 클레멘스 추측에서 상당한 진전을 가져왔다.
열거 기하학은 교차 이론과 매우 밀접하게 연결되어 있다.
슈베르트 미적분[편집]
열거 기하학은 헤르만 슈베르트의 손에 의해 19세기 말에 눈부신 발전을 보였다.[1] 그는 슈베르트 미적분학을 도입했는데, 더 넓은 영역에서 근본적인 기하학적 및 위상학적 가치를 입증했다. 열거 기하학의 특정 요구 사항은 1960년대와 1970년대에 약간의 추가적 관심이 주어일 때까지 해결되지 않았다(예를 들어 Steven Kleiman 이 지적한 대로). 교차수는 엄격하게 정의되었지만(앙드레 베유가 1942 – 6년 그의 기초 프로그램의 일부로, 그리고 그 이후에 다시) 이것은 열거 질문의 적절한 영역을 소진하지 못했다.
얼버무림 인자와 힐베르트의 15번째 문제[편집]
차원 계산과 베주의 정리를 순진하게 적용하면 다음 예와 같이 잘못된 결과가 나타넌다. 이러한 문제에 대응하여 대수 기하학자는 모호한 "얼버무림 인자"를 도입했으며, 이는 수십 년 후에야 엄격하게 정당화되었다.
예를 들어, 사영 평면에서 5개의 주어진 선에 접하는 원뿔 단면을 계산한다.[2] 원뿔은 5차원의 사영 공간을 구성하고 6개의 계수를 동차좌표로 사용하며 5개의 점이 원뿔을 결정한다. 점이 일반적으로 선형 위치에 있는 경우 주어진 점을 통과하면 선형 조건이 부과되므로 원뿔이 결정된다. 마찬가지로, 주어진 선 L에 대한 접선(접선은 중복도 2인 교점)은 하나의 2차 조건이므로 P 5 에서 이차 초곡면으로 결정된다. 그러나 그러한 모든 이차방정식으로 구성된 약수의 선형족은 기저 자취가 없는 것이 아니다. 사실 각각의 이러한 이차 초곡면은 원뿔형을 매개변수화하는 베로네세 표면을 포함한다.
- (aX + bY + cZ )2 = 0
이를 '이중 직선'이라고 한다. 이것은 이중 직선이 평면의 모든 직선과 교차하기 때문이다. 사영 평면의 직선이 교차하기 때문에 다중도 2는 두 배가 되므로 교차 조건(다중도 2의 교차)에 직선에 접하는 비축퇴 원추형 과 동일한 교차 조건(다중도 2의 교차)을 만족한다.
일반 베주 정리는 5-공간에서 5개의 일반 2차가 32 = 2 5개의 점에서 교차할 것이라고 말한다. 그러나 여기서 관련된 이차는 일반적인 위치에 있지 않다. 32에서 31을 빼서 베로네세에 귀속시켜야 정답(기하학적 관점에서), 즉 1을 남길 수 있다. 교차를 '퇴화' 사례에 귀속시키는 이 과정은'얼버무림 인자'의 전형적인 기하학적 도입이다.
힐베르트의 15번째 문제는 이러한 개입의 자의적인 특성을 극복하는 것이었다. 이 측면은 슈베르트 미적분 자체의 근본적인 질문을 넘어선 것이다.
클레멘스 추측[편집]
1984년에 클레멘스는 5차 삼중체 에서 유리 곡선의 수를 세는 방법을 연구했다. 그리고 다음과 같은 추측에 도달했다.
- 허락하다 일반 5차 삼중이어야 한다. 양의 정수이면 에 차수 인 유한한 수의 유리 곡선만 있다.
이 추측은 에서 해결되었다. 그러나 여전히 더 높은 차원에서는 미해결이다.
1991년에 안의 5중 삼중체의 거울 대칭에 관한 논문[3]은 이론적 관점에서 모든 에 대해 안의 차수 d인 유리 곡선의 수를 제공한다. 이전에는 대수 기하학자들이 에서 이들을 계산할 수 있었다.
예[편집]
대수 기하학에서 역사적으로 중요한 열거의 예는 다음과 같다.
- 2: 공간에서 4개의 일반선과 만나는 선의 수
- 8: 3개의 일반적인 원에 접하는 원의 수(아폴로니우스의 문제).
- 27: 매끄러운 입방체 표면의 선 수(살몬 및 케일리)
- 2875: 일반 5차 삼중 의 줄 수
- 3264: 일반 위치에서 5개의 평면 원뿔에 접하는 원뿔 의 수(미셸 샬)
- 609250: 일반 5차 삼중체 원뿔의 수
- 4407296: 일반 4차 곡면 8개에 접하는 원뿔의 수 Fulton (1984, p. 193)
- 666841088: 3공간에서 일반적인 위치에서 9개의 주어진 4차 곡면에 접하는 2차 곡면의 수 (Schubert 1879) (Fulton 1984)
- 5819539783680: 3공간에서 일반적인 위치에 있는 12개의 4차 곡면에 접하는 꼬인 3차 곡선의 수 (Schubert 1879) (S. 클라이만, SA 스트롬메 & S. 잠보 1987년
참조[편집]
- ↑ Schubert, H. (1879). 《Kalkül der abzählenden Geometrie》 (1979에 출판됨).
- ↑ Fulton, William (1984). 〈10.4〉. 《Intersection Theory》. ISBN 0-387-12176-5.
- ↑ Candelas, Philip; de la Ossa, Xenia; Green, Paul; Parks, Linda (1991). “A pair of Calabi-Yau manifolds as an exactly soluble superconformal field theory”. 《Nuclear Physics B》 359 (1): 21–74. doi:10.1016/0550-3213(91)90292-6.
- Kleiman, S.; Strømme, S. A.; Xambó, S. (1987), 〈Sketch of a verification of Schubert's number 5819539783680 of twisted cubics〉, 《Space curves (Rocca di Papa, 1985)》, Lecture Notes in Math. 1266, Berlin: Springer, 156–180쪽, doi:10.1007/BFb0078183, ISBN 978-3-540-18020-3, MR 0908713
- Schubert, Hermann (1979) [1879], Kleiman, Steven L., 편집., 《Kalkül der abzählenden Geometrie》, Reprint of the 1879 original (독일어), Berlin-New York: Springer-Verlag, ISBN 3-540-09233-1, MR 0555576
외부 링크[편집]
- Bashelor, Andrew; Ksir, Amy; Traves, Will (2008). “Enumerative Algebraic Geometry of Conics”. 《Amer. Math. Monthly》 115 (8): 701–7. doi:10.1080/00029890.2008.11920584. JSTOR 27642583.