베주 정리

위키백과, 우리 모두의 백과사전.
이동: 둘러보기, 검색
베주 정리에 따라, 두 개의 3차 평면곡선은 최대 3×3=9개의 점에서 서로 교차한다.

대수기하학에서, 베주 정리(Bézout定理, 영어: Bézout’s theorem)는 두 평면 대수 곡선의 교차점의 개수는 그 두 곡선의 차수들의 곱과 같거나 보다 적다는 정리다.

역사[편집]

아이작 뉴턴이 《프린키피아》 1권 6부 보조정리 28을 증명하는 과정에서 사실상 증명하였다. 에티엔 베주(프랑스어: Étienne Bézout)가 1779년 출판한 《대수방정식론》(프랑스어: Théorie générale des équations algébriques)에서 재발견하였다.

정의[편집]

k대수적으로 닫힌 체라고 하고, XYk에 대한 2차원 사영공간 속에 존재하는, 서로 다른 기약(irreducible) 대수곡선이라고 하자. 그렇다면 XY의 중복도를 고려한 교차점의 수는 X의 차수와 Y의 차수의 곱과 같다.

보다 일반적으로, p_1,\dots,p_nn+1개의 변수를 가지는 동차다항식이라고 하자. 그렇다면 p_i^{-1}(0)\subset P_k^nn차원 사영공간 속의 n-1차원 초곡면을 정의한다. 이들의 (중복도를 고려한) 교차점의 수는 p_i들의 차수의 곱과 같다.

i(p_1,p_2,\dots,p_n)=\prod_i\deg p_i

[편집]

  • 1차 대수 곡선은 직선이다. 따라서, 두 직선은 정확히 한 점에서 교차한다. 만약 두 직선이 평행하다면, 이 교차점은 사영공간에서 무한대에 위치한 점이다.
  • 2차 대수 곡선은 원뿔곡선이다. 따라서, 두 원뿔곡선은 중복도를 고려하여, 네 점에서 교차한다. 여기서, 일부 교차점은 중복도가 2 이상일 수 있다.

바깥 고리[편집]