베주 정리

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베주 정리에 따라, 두 개의 3차 평면곡선은 최대 3×3=9개의 점에서 서로 교차한다.

대수기하학에서, 베주 정리(Bézout定理, 영어: Bézout’s theorem)는 두 평면 대수 곡선의 교차점의 개수는 그 두 곡선의 차수들의 곱과 같다는 정리이다.

역사[편집]

아이작 뉴턴이 《프린키피아》 1권 6부 보조정리 28을 증명하는 과정에서 사실상 증명하였다. 에티엔 베주(프랑스어: Étienne Bézout)가 1779년 출판한 《대수방정식론》(theory of eqation)(프랑스어: Théorie générale des équations algébriques)에서 재발견하였다.

정의[편집]

k대수적으로 닫힌 체라고 하고, XYk에 대한 2차원 사영공간 속에 존재하는, 서로 다른 기약(irreducible) 대수곡선이라고 하자. 그렇다면 XY의 중복도를 고려한 교차점의 수는 X의 차수와 Y의 차수의 곱과 같다.

보다 일반적으로, p_1,\dots,p_nn+1개의 변수를 가지는 동차다항식이라고 하자. 그렇다면 p_i^{-1}(0)\subset P_k^nn차원 사영공간 속의 n-1차원 초곡면을 정의한다. 이들의 (중복도를 고려한) 교차점의 수는 p_i들의 차수의 곱과 같다.

i(p_1,p_2,\dots,p_n)=\prod_i\deg p_i

[편집]

  • 1차 대수 곡선은 직선이다. 따라서, 두 직선은 정확히 한 점에서 교차한다. 만약 두 직선이 평행하다면, 이 교차점은 사영공간에서 무한대에 위치한 점이다. 예를 들면, 사영공간에서, x+2y=3과 x+2y=5를 동차다항식으로 표현하면, x+2y-3z=0과 x+2y-5z=0이 된다. 이를 풀면, x=-2y와 z=0을 얻게되고, 동차좌표인 (-2:1:0)을 얻게된다. z좌표가 0이므로 이 점은 무한대에 위치한 점이다.
  • n차 곡선과 직선은 중복도를 고려하여, n개의 점에서 교차한다. 이 특별한 경우는 n차 곡선이 대수학의 기본정리(fundamental theorem of algebla)를 따르기 때문이다. 예를 들어, y=x²인 차수가 2인 포물선과, y=ax인 차수가 1인 직선은 a≠0일때 정확히 두 점에서 만나고, a=0일 때 중복도가 2인 원점에서 만난다.
  • 2차 대수 곡선은 원뿔곡선이다. 따라서, 두 원뿔곡선은 중복도를 고려하여, 네 점에서 교차한다. 여기서, 일부 교차점은 중복도가 2 이상일 수 있다.

바깥 고리[편집]

대략적인 증명[편집]

x, y에 관한 방정식을 동차좌표(homogeneous coordinates) 으로 쓰자.

a_0z^m + a_1z^{m-1} + \dots + a_{m-1}z + a_m = 0.
b_0z^n + b_1z^{n-1} + \dots + b_{n-1}z + b_n = 0.

ai와 bi는 x와 y에 대해 차수가 i인 동차다항식이다.

x와 y의 교차점은 연립방정식의 해에 대응된다. Sylvester matrix로부터 m=4와 n=3인 경우,

S=\begin{pmatrix} 
a_0 & a_1 & a_2 & a_3 & a_4 & 0   & 0 \\
0   & a_0 & a_1 & a_2 & a_3 & a_4 & 0 \\
0   & 0   & a_0 & a_1 & a_2 & a_3 & a_4 \\
b_0 & b_1 & b_2 & b_3 & 0   & 0   & 0 \\
0   & b_0 & b_1 & b_2 & b_3 & 0   & 0 \\
0   & 0   & b_0 & b_1 & b_2 & b_3 & 0 \\
0   & 0   & 0   & b_0 & b_1 & b_2 & b_3 \\
\end{pmatrix}.

2차 다항식의 종결식으로 불리는 S의 행렬식 |S|는 Z에서 공통해를 가질 때‘0’이다. |S|의 항들의 차수는 항상 mn이다. 그래서 |S|는 x와 y에 대해 차수가 mn인 동차다항식 이다. 대수학의 기본 정리에 의해, |S|는 많아야 mn개의 선형인자로 인수분해 될 수 있다. 따라서 최대 mn개의 해를 갖는다.