그로모프-위튼 불변량

수학에서, 그로모프-위튼 불변량(Громов-Witten不變量, 영어: Gromov–Witten invariant)은 주어진 심플렉틱 다양체 위의 정칙 곡선의 수를 헤아리는 불변량이다. 위상 끈 이론의 A모형의 관측 가능량이다.

정의

$(M,\omega )$이 $2d$차원 콤팩트 심플렉틱 다양체이며, $\alpha \in \operatorname {H} _{2}(M;\mathbb {Z} )$이 주어졌다고 하자.

안정 사상의 모듈러스 공간

${\mathcal {M}}_{g,n}$이 $n$개의 점들이 주어진 종수 $g$의 리만 곡면의 모듈러스 스택이라고 하자. $M$ 위에 심플렉틱 구조 $\omega$와 호환되는 임의의 개복소구조 $J$를 주고, ${\mathcal {M}}_{g,n}(M;\alpha )$가 안정 사상(영어: stable map) $f\colon \Sigma _{g}\to M$ 가운데, $f(\Sigma _{g})\simeq \alpha$인 것들의 모듈라이 공간이라고 하자.

${\mathcal {M}}_{g,n}(M;\alpha )$의 차원은 다음과 같다.

$\dim {\mathcal {M}}_{g,n}(M;\alpha )=2c_{1}^{M}(\alpha )+(2d-6)(1-g)+2n$

${\mathcal {M}}_{g,n}(M;\alpha )$의 점들은 다음과 같은 꼴이다.

$(\Sigma ,z_{1},\dots ,z_{n},f)$

여기서 $\Sigma$는 종수 $g$의 리만 곡면이며, $z_{1},\dots ,z_{n}\in \Sigma$은 리만 곡면 위의 점들이며, $f\colon \Sigma \to M$은 $J$에 대하여 정칙 사상이다.

그로모프-위튼 불변량

다음과 같은 값매김 사상(영어: evaluation map)이 존재한다.

$\operatorname {ev} \colon {\mathcal {M}}_{g,n}(M;\alpha )\to {\mathcal {M}}_{g,n}\times M^{n}$

$\operatorname {ev} \colon (\Sigma ,z_{1},\dots ,z_{n},f)\mapsto (\Sigma ,f(z_{1}),\dots ,f(z_{n}))$

그렇다면 $M$의 그로모프-위튼 호몰로지류 $\operatorname {GW} _{g,n}^{M,\alpha }$은 $M$의 기본류의 값매김 사상에 대한 상이다.

$\operatorname {GW} _{g,n}^{M,\alpha }=\operatorname {ev} ([M])\in \operatorname {H} _{\dim {\mathcal {M}}_{g,n}(X,\alpha )}({\mathcal {M}}_{g,n}\times M^{n};\mathbb {Q} )$

임의의 호몰로지류

$\beta \in {\mathcal {M}}_{g,n}$

$\gamma _{1},\dots ,\gamma _{n}\in \operatorname {H} (M;\mathbb {Z} )$

에 대하여, 그로모프-위튼 불변량은 다음과 같은 유리수이다.

$\operatorname {GW} _{g,n}^{M,\alpha }(\beta ,\gamma _{1},\dots ,\gamma _{n})=\operatorname {PD} (\operatorname {GW} _{g,n}^{M,\alpha })(\beta \times \gamma _{1}\times \cdots \times \gamma _{n})\in \mathbb {Q}$

여기서 $\operatorname {PD}$는 푸앵카레 쌍대를 뜻한다.

그로모프-위튼 불변량 $\operatorname {GW} _{g,n}^{M,\alpha }(\beta ,\gamma _{1},\dots ,\gamma _{n})$은 정칙 사상 $f\colon \Sigma _{g}\to M$ 가운데

• $f([\Sigma _{g}])\simeq \alpha$
• $\Sigma _{g}\in \beta$
• $f(z_{i})\in \gamma _{i}$

인 것들의 수를 센다. 이는 가상적(영어: virtual) 수이며, 따라서 음수이거나 유리수일 수 있다.

참고 문헌

• 조용승 (2012). 《지표이론》. 경문사. ISBN 978-89-6105-622-9. 2014년 11월 12일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2015년 7월 13일에 확인함. 
• 조용승 (2000). “심플렉틱 다양체의 불변량”. 《Communications of the Korean Mathematical Society》 15 (3): 391–434. ISSN 1225-1763. 2015년 7월 13일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2015년 7월 13일에 확인함. 
• McDuff, Dusa; Salamon, Dietmar (2012). 《$J$-holomorphic curves and symplectic topology》. American Mathematical Society colloquium publications (영어) 52 2판. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-8746-2. 
• Fulton, W.; Pandharipande, R. (1996). “Notes on stable maps and quantum cohomology” (영어). arXiv:alg-geom/9608011. 

외부 링크

• “Gromov-Witten invariants”. 《nLab》 (영어). 
• 김범식 (2010). “거울대칭, 그리고 곡선 세기” (PDF). 《과학의 지평》. 4–10쪽. 2016년 3월 4일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2015년 7월 6일에 확인함. 
• 정대웅 (2010). “Gromov-Witten 이론의 연구동향” (PDF). 《과학의 지평》. 18–18쪽. 2015년 7월 7일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2015년 7월 6일에 확인함. 

같이 보기

• 양자 코호몰로지
• 위상 끈 이론