에일렌베르크-스틴로드 공리

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수학에서, 에일렌베르크-스틴로드 공리(영어: Eilenberg–Steenrod axioms)는 상대 호몰로지가 만족하는 다섯 개의 공리다.

역사[편집]

사무엘 에일렌베르크노먼 스틴로드(영어: Norman Steenrod)가 1945년에 발표하였다.[1]

정의[편집]

상대 호몰로지는 부분공간이 갖추어진 위상공간의 범주 \operatorname{Top^2}에서 아벨 군의 범주 \operatorname{Ab}로 가는 일련의 함자 H_n과 이들 함자 사이의 자연 변환 \partial_n\colon H_n\to H_{n-1}로 구성된다.

이 데이터가 보통 호몰로지 이론(영어: ordinary homology theory)을 이루려면, 다음과 같은 다섯 개의 공리를 만족해야 한다. 만약 차원 공리를 제외한 나머지 공리들을 만족시지만 차원 공리는 성립하지 않는다면, 이를 특수 호몰로지 이론(영어: extraordinary homology theory)이라고 한다.

  1. (호모토피 불변성) g,h\colon(X,A)\to(Y,B)가 서로 호모토픽하다면, H_\bullet(f)=H_\bullet(g)이다. 즉, 이 함자는 부분집합이 갖추어진 위상공간과 그 호모토피들의 범주 \operatorname{hTop^2}에 정의된다.
  2. (절단 정리) \operatorname{cl}(U)\subset\operatorname{int}(A)라면 H_\bullet(X,A)=H_\bullet(X\setminus U,A\setminus U)이다.
  3. (차원 공리) P가 점 하나만을 포함한 위상공간이라고 하자. 그렇다면 n\ne0인 경우 H_n(P,\varnothing)=0이다.
  4. (가법성) X=\bigsqcup_\alpha X_\alpha가 집합들의 서로소 합집합이라고 하자. 그렇다면 H_\bullet(X,\varnothing)=\bigoplus_\alpha H_\bullet(X_\alpha,\varnothing)이다.
  5. (완전성) 다음과 같은 완전열이 존재한다.
\cdots\to H_n(A,\varnothing)\to H_n(X,\varnothing)\to H_n(X,A)\to H_{n-1}(A,\varnothing)\to H_{n-1}(X,\varnothing)\to H_{n-1}(X,A)\to\cdots.

이와 유사하게 보통 코호몰로지 이론특수 코호몰로지 이론도 정의할 수 있다.

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흔히 다루는 특이 호몰로지, 체흐 코호몰로지, 드람 코호몰로지 등은 보통 (코)호몰로지 이론이다. K이론은 특수 코호몰로지 이론의 한 예다.

참고 문헌[편집]

  1. (영어) Eilenberg, Samuel, Norman E. Steenrod (1945년 4월 1일). Axiomatic Approach to Homology Theory. 《Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America》 31 (4): 117–120. doi:10.1073/pnas.31.4.117. 재출판 (영어) Eilenberg, Samuel, Norman E. Steenrod (1972). 〈An axiomatic approach to homology theory〉, 《Algebraic Topology: A Student's Guide》, London Mathematical Society Lecture Note Series 4, Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511662584.003. ISBN 9780521080767