랭글랜즈 쌍대군

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수학에서, 랭글랜즈 쌍대군(영어: Langlands dual group)은 주어진 군에서 과 쌍대근(coroot)을 맞바꾼 군이다.

정의[편집]

가약 리 군 G (즉, 리 대수가 반단순 리 대수와 가환 리 대수의 직합인 경우)가 주어졌다고 하자. 이러한 리 군은 근 데이터(영어: root datum) (X^*,\Phi,X_*,\Phi^\vee)로 (동형사상을 무시하면) 유일하게 정의된다. 여기서

  • X^*G의 최대 원환면(maximal torus)의 지표들의 격자이다. (즉, 최대 원환면의 폰트랴긴 쌍대군이다.) 이를 G무게 격자(weight lattice)라고 한다.
  • \Phi\subset X^*는 리 대수 \mathfrak g근계이다.
  • X_*X^*의 쌍대 격자다. 이를 G쌍대 무게 격자(coweight lattice)라고 한다.
  • \Phi^\vee\subset X_*\Phi의 쌍대근계(coroot system)이다. 즉, \alpha\in\Phi에 대해 \alpha^\vee=2\alpha/\langle\alpha,\alpha\rangle이다.

근 데이터는 가약 리 군을 심지어 유한 아벨 부분군까지 정확히 나타내므로, 딘킨 도표보다 더 많은 정보를 담고 있다.

이러한 근 데이터가 주어졌다면, 군 G랭글랜즈 쌍대군 G^\vee는 근 데이터에서 무게 격자와 쌍대 무게 격자를, 근계와 쌍대근계를 맞바꾼 가약 리 군이다. 즉, G^\vee의 근 데이터는

(X_*,\Phi^\vee,X^*,\Phi)

이다.

복소수체 말고도, 다른 체에 대한 대수군의 경우도 랭글랜즈 쌍대군을 정의할 수 있다.

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원환면[편집]

콤팩트 아벨 리 군 G의 경우, 이는 항상 벡터 공간을 격자로 나눈 꼴

G=V/\Lambda

로 나타낼 수 있다. 이 경우, 그 랭글랜즈 쌍대군은

G^\vee=V^*/\Lambda^*

이다. 이는 폰트랴긴 쌍대군과 전혀 다름에 주의하자. (이 경우, G폰트랴긴 쌍대군\Lambda^*이다.)

단순 연결 콤팩트 리 군[편집]

단순 연결 콤팩트 리 군의 경우, 랭글랜즈 쌍대군은 원래 군과 비슷하나, 그 유한 아벨 군에 대한 몫이 다를 수 있다. 특히, 리 군의 범피복공간은 그 리 군의 중심을 없앤 형태와 쌍대이다. 예외적으로, Bn과 Cn이 서로 쌍대이다.

구체적으로 다음과 같다.

단순 연결 콤팩트 리 군의 랭글랜즈 쌍대군
쌍대군
\operatorname{SU}(mn)/(\mathbb Z/m) \operatorname{SU}(mn)/(\mathbb Z/n)
\operatorname{Spin}(2n+1) \operatorname{USp}(2n)/(\mathbb Z/2)
\operatorname{SO}(2n+1) \operatorname{USp}(2n)
\operatorname{SO}(2n) \operatorname{SO}(2n)
\operatorname{Spin}(2n) \operatorname{PSO}(2n)
\operatorname{Spin}(8n)/(\mathbb Z/2)_1 \operatorname{Spin}(8n)/(\mathbb Z/2)_1
\operatorname{Spin}(8n)/(\mathbb Z/2)_2 \operatorname{Spin}(8n)/(\mathbb Z/2)_2
\operatorname{Spin}(8n+4)/(\mathbb Z/2)_1 \operatorname{Spin}(8n+4)/(\mathbb Z/2)_2
G_2 G_2
F_4 F_4
E_6 E_6/(\mathbb Z/3)
E_7 E_7/(\mathbb Z/2)
E_8 E_8

위 표에서, \operatorname{Spin}(4n)중심(\mathbb Z/2)\times(\mathbb Z/2)이므로, 이를 각각 (\mathbb Z/2)_1, (\mathbb Z/2)_2로 표기하였다.

응용[편집]

랭글랜즈 쌍대군은 갈루아 군보형 형식을 잇는 랭글랜즈 프로그램에 중요한 역할을 한다.

이론물리학에서, 랭글랜즈 쌍대군은 전기-자기 이중성에 등장한다. 구체적으로, 전기-자기 이중성에서 (전기) 게이지 군에 해당하는 자기 게이지 군은 랭글랜즈 쌍대군이다. 이를 통해 물리학으로 랭글랜즈 프로그램을 해석할 수 있다.[1] 이 사실은 안톤 카푸스틴(러시아어: Анто́н Капу́стин)과 에드워드 위튼이 발견하였다.[2]

참고 문헌[편집]

  1. (영어) Frenkel, Edward (2009년). Gauge Theory and Langlands Duality. arXiv:0906.2747. Bibcode2009arXiv0906.2747F.
  2. (영어) Kapustin, Anton, Edward Witten (2006년). Electric–magnetic duality and the geometric Langlands program. arXiv:hep-th/0604151. Bibcode2006hep.th....4151K.

바깥 고리[편집]