랭글랜즈 쌍대군

수학에서 랭글랜즈 쌍대군(영어: Langlands dual group)은 주어진 군에서 근과 쌍대근(coroot)을 맞바꾼 군이다.

정의

가약 리 군 $G$ (즉, 리 대수가 반단순 리 대수와 아벨 리 대수의 직합인 경우)가 주어졌다고 하자. 이러한 리 군은 근 데이터(영어: root datum) $(X^{*},\Phi ,X_{*},\Phi ^{\vee })$로 (동형사상을 무시하면) 유일하게 정의된다. 여기서

• $X^{*}$는 $G$의 극대 원환면의 지표들의 격자이다. (즉, 극대 원환면의 폰트랴긴 쌍대군이다.) 이를 $G$의 무게 격자(weight lattice)라고 한다.
• $\Phi \subset X^{*}$는 리 대수 ${\mathfrak {g}}$의 근계이다.
• $X_{*}$는 $X^{*}$의 쌍대 격자다. 이를 $G$의 쌍대 무게 격자(coweight lattice)라고 한다.
• $\Phi ^{\vee }\subset X_{*}$는 $\Phi$의 쌍대근계(coroot system)이다. 즉, $\alpha \in \Phi$에 대해 $\alpha ^{\vee }=2\alpha /\langle \alpha ,\alpha \rangle$이다.

근 데이터는 가약 리 군을 심지어 유한 아벨 부분군까지 정확히 나타내므로, 딘킨 도표보다 더 많은 정보를 담고 있다.

이러한 근 데이터가 주어졌다면, 군 $G$의 랭글랜즈 쌍대군 $G^{\vee }$는 근 데이터에서 무게 격자와 쌍대 무게 격자를, 근계와 쌍대근계를 맞바꾼 가약 리 군이다. 즉, $G^{\vee }$의 근 데이터는

$(X_{*},\Phi ^{\vee },X^{*},\Phi )$

이다.

복소수체 말고도, 다른 체에 대한 대수군의 경우도 랭글랜즈 쌍대군을 정의할 수 있다.

예

원환면

콤팩트 아벨 리 군 $G$의 경우, 이는 항상 벡터 공간을 격자로 나눈 꼴

$G=V/\Lambda$

로 나타낼 수 있다. 이 경우, 그 랭글랜즈 쌍대군은

$G^{\vee }=V^{*}/\Lambda ^{*}$

이다. 이는 폰트랴긴 쌍대군과 전혀 다름에 주의하자. (이 경우, $G$의 폰트랴긴 쌍대군은 $\Lambda ^{*}$이다.)

단순 연결 콤팩트 리 군

단순 연결 콤팩트 리 군의 경우, 랭글랜즈 쌍대군은 원래 군과 비슷하나, 그 유한 아벨 군에 대한 몫이 다를 수 있다. 특히, 리 군의 범피복 공간은 그 리 군의 중심을 없앤 형태와 쌍대이다. 예외적으로, B_n과 C_n이 서로 쌍대이다.

구체적으로 다음과 같다.

단순 연결 콤팩트 리 군의 랭글랜즈 쌍대군

군	쌍대군
$\operatorname {SU} (mn)/(\mathbb {Z} /m)$	$\operatorname {SU} (mn)/(\mathbb {Z} /n)$
$\operatorname {Spin} (2n+1)$	$\operatorname {USp} (2n)/(\mathbb {Z} /2)$
$\operatorname {SO} (2n+1)$	$\operatorname {USp} (2n)$
$\operatorname {SO} (2n)$	$\operatorname {SO} (2n)$
$\operatorname {Spin} (2n)$	$\operatorname {PSO} (2n)$
$\operatorname {Spin} (8n)/(\mathbb {Z} /2)_{1}$	$\operatorname {Spin} (8n)/(\mathbb {Z} /2)_{1}$
$\operatorname {Spin} (8n)/(\mathbb {Z} /2)_{2}$	$\operatorname {Spin} (8n)/(\mathbb {Z} /2)_{2}$
$\operatorname {Spin} (8n+4)/(\mathbb {Z} /2)_{1}$	$\operatorname {Spin} (8n+4)/(\mathbb {Z} /2)_{2}$
$G_{2}$	$G_{2}$
$F_{4}$	$F_{4}$
$E_{6}$	$E_{6}/(\mathbb {Z} /3)$
$E_{7}$	$E_{7}/(\mathbb {Z} /2)$
$E_{8}$	$E_{8}$

위 표에서, $\operatorname {Spin} (4n)$의 중심은 $(\mathbb {Z} /2)\times (\mathbb {Z} /2)$이므로, 이를 각각 $(\mathbb {Z} /2)_{1}$, $(\mathbb {Z} /2)_{2}$로 표기하였다.

응용

랭글랜즈 쌍대군은 갈루아 군과 보형 형식을 잇는 랭글랜즈 프로그램에 중요한 역할을 한다.

이론물리학에서, 랭글랜즈 쌍대군은 전기-자기 이중성에 등장한다. 구체적으로, 전기-자기 이중성에서 (전기) 게이지 군에 해당하는 자기 게이지 군은 랭글랜즈 쌍대군이다. 이를 통해 물리학으로 랭글랜즈 프로그램을 해석할 수 있다. 이 사실은 안톤 카푸스틴(러시아어: Анто́н Капу́стин)과 에드워드 위튼이 발견하였다.

외부 링크

• Figueroa-O’Farrill, José (1998). “Electromagnetic duality for children” (영어). 
• Daenzer, Calder; Erik Van Erp. “T-Duality for Langlands Dual Groups”. arXiv:1211.0763.