다발 제르브

미분기하학에서 다발 제르브(영어: bundle gerbe)는 선다발을 일반화시킨 개념이다.

정의

U(1) 주다발은 다음과 같이 간주될 수 있다.

• U(1) 주다발은 (정수 계수) 2차 코호몰로지류이다. (즉, 주다발은 그 천 특성류에 의하여 분류된다.)
• U(1) 주다발은 어떤 열린 덮개에 대하여, 각 조각 위에 주어진 $\operatorname {U} (1)=\{z\in \mathbb {C} \colon |z|=1\}$ 인자들로 구성된다. 이 경우, 각 $\operatorname {U} (1)$들은 전이 함수들로 짜깁기되며, 이들은 공사슬 조건을 만족시켜야 한다.
• U(1) 주다발은 주다발의 일종이다. 즉, $\operatorname {U} (1)$ 구조를 갖는 전사 연속 함수이다.

이 세 정의들을 각각 다음과 같이 일반화시킬 수 있으며, 이들은 서로 동치이다.

각 정의에서, 다음이 주어졌다고 하자.

• 매끄러운 다양체 $M$
• 자연수 $p\in \mathbb {N}$.

그렇다면, $M$ 위의 $(p-2)$-다발 제르브의 개념을 정의할 수 있다. 0-다발 제르브는 U(1) 선다발과 같다.

코호몰로지류를 통한 정의

$M$ 위의 $(p-2)$-다발 제르브는 (정수 계수) $p$차 코호몰로지 군의 원소

$\alpha \in \operatorname {H} ^{p}(M;\mathbb {Z} )$

이다.

열린 덮개를 통한 정의

$M$ 위의 $(p-2)$차 히친-채터지 제르브(영어: Hitchin–Chatterjee gerbe)는 다음과 같은 데이터로 주어진다.^:218

• $M$의 열린 덮개 $\{U_{i}\}_{i\in I}$. 여기서 $U_{ijk\cdots }=U_{i}\cap U_{j}\cap U_{k}\cap \cdots$로 표기하자.
• 모든 ${\vec {\imath }}=i_{1},i_{2},\dotsc ,i_{p}\in I$에 대하여, 전이 함수(영어: transition map) $\phi _{\vec {\imath }}\colon U_{\vec {\imath }}\to \operatorname {U} (1)=\{z\in \mathbb {C} \colon |z|=1\}$

이들은 다음 두 조건을 만족하여야 한다.

• 임의의 순열 $\sigma \in \operatorname {Sym} (p)$에 대하여,

  $\phi _{\sigma ({\vec {\imath }})}={\begin{cases}\phi _{\vec {\imath }}&(-)^{\sigma }=+1\\\phi _{\vec {\imath }}^{-1}&(-)^{\sigma }=-1\end{cases}}$

• (공사슬 조건 영어: cocycle condition) 임의의 $i_{0},i_{1},\dotsc ,i_{p}\in I$ 및 $x\in U_{i_{0},\dotsc ,i_{p}}$에 대하여,

  $1=\phi _{i_{0}\dotso i_{p-1}}(x)\cdot \phi _{i_{1}\dotso i_{p}}(x)\cdot \dotsb \cdot \phi _{i_{p}i_{1}\dotso i_{p-2}}(x)$

이 정의에서, $p=2$을 잡으면 U(1) 선다발의 정의를 얻는다. 즉, 매끄러운 다양체 $M$위의 U(1) 선다발은 다음과 같은 데이터로 정의된다.

• $M$의 열린 덮개 $\{U_{i}\}_{i\in I}$
• 모든 $i,j\in I$에 대하여, 전이 함수 $\phi _{ij}\colon U_{ij}\to U(1)=\{z\in \mathbb {C} \colon |z|=1\}$

이들은 다음 두 조건을 만족시켜야 한다. 모든 $i,j,k\in I$에 대하여,

• $\phi _{ji}=\phi _{ij}^{-1}$
• (공사슬 조건) $\phi _{ij}\phi _{jk}\phi _{ki}|_{U_{ijk}}=1$

물론, 선다발의 동치를 적절히 정의하여야 한다.

위 정의는 나이절 히친과 데이비드 소미트라 채터지(영어: David Saumitra Chatterjee, 벵골어: সৌমিত্র চ্যাটার্জী)가 사용한 정의다. 마이클 머리가 사용한 정의는 더 일반적이며, 히친이 정의한 제르브는 머리가 정의한 국소 다발 제르브(영어: local bundle gerbe)에 대응한다.

다발을 통한 정의

매끄러운 다양체 $M$ 위의 다발 제르브는 다음과 같은 데이터로 주어진다.^{:Definition 4.1}

• 전사 함수 $E\twoheadrightarrow M$
• U(1) 주다발 $L\twoheadrightarrow E\times _{M}E$.
• U(1) 주다발의 동형 사상 $\mu \colon \pi _{12}^{*}L\otimes \pi _{23}^{*}L\to \pi _{13}^{*}L$. 여기서 $\pi _{12},\pi _{23},\pi _{13}\colon E\times _{M}E\times _{M}E\to E\times _{M}E$는 성분별 사영 사상이다.

${\begin{matrix}E\times _{M}E\times _{M}E\\\scriptstyle {\pi _{12}}\downarrow \;\scriptstyle {\color {White}\pi _{23}}\downarrow \scriptstyle {\pi _{23}}\;\downarrow \scriptstyle {\pi _{13}}\\E\times _{M}E\\\scriptstyle {\pi _{1}}\downarrow \quad \downarrow \scriptstyle {\pi _{2}}\\E\\\downarrow \\M\end{matrix}}$

이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

• (결합 법칙) $\mu \circ \mu _{123}=\mu \circ \mu _{234}$. 여기서 $\mu _{123},\mu _{234}\colon E\times _{M}E\times _{M}E\times _{M}E\to E\times _{M}E\times _{M}E$는 (1,2,3) 또는 (2,3,4)번째 성분에 $\mu$를 작용시킨 것이다.

접속

U(1) 주다발을 나타내는 0차 히친-채터지 제르브 $(U_{i},\phi _{ij})_{i,j\in I}$ 위의 주접속은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• $A_{i}\in \Omega ^{1}(U_{i};\mathbb {R} )$
• $\alpha _{ij}\in \Omega ^{0}(U_{ij};\mathbb {R} )$

이들은 다음 호환 조건을 만족시켜야 한다.

$A_{j}(x)-A_{i}(x)=-\mathrm {i} \,\mathrm {d} \ln \phi _{ij}(x)\qquad (x\in U_{ij})$

이 경우, $\mathrm {d} A_{i}$를 이어붙여 $F=\mathrm {d} A_{i}$를 정의할 수 있으며, $[F]/2\pi$는 U(1) 주다발의 천 특성류와 같다.

$[F]/2\pi =\operatorname {c} _{1}(L)$

마찬가지로, 1차 히친-채터지 제르브 $(U_{i},\phi _{ijk})_{i,j,k\in I}$위의 접속은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• $B_{i}\in \Omega ^{2}(U_{i};\mathbb {R} )$
• $A_{ij}\in \Omega ^{1}(U_{ij};\mathbb {R} )$

이들은 다음 호환 조건을 만족시켜야 한다.^:219

$B_{j}(x)-B_{i}(x)=\mathrm {d} A_{ij}(x)\qquad (x\in U_{ij})$

$A_{ij}(x)+A_{jk}(x)+A_{ki}(x)=-\mathrm {i} \,\mathrm {d} \ln \phi _{ijk}(x)\qquad (x\in U_{ijk})$

이 경우, $\mathrm {d} A_{i}$들을 이어붙여

$F\in \Omega ^{2}(M;\mathbb {R} )$

$F(x)=\mathrm {d} A_{i}(x)\qquad (x\in U_{i})$

를 정의할 수 있으며, 또한 그 코호몰로지류 $[F]/2\mathrm {\pi } \in \operatorname {H} ^{3}(M;\mathbb {R} )$가 정수 계수인 것을 보일 수 있다.

보다 일반적으로, $(p-2)$차 히친-채터지 제르브의 경우, 각 $U_{i}$ 위에는 $(p-1)$차 히친-채터지 제르브의 접속이 주어져 있다. $-1$차 히친-채터지 제르브의 접속 구조는 전이 함수 $\phi _{i}\colon U_{i}\to \operatorname {U} (1)$의 자연 로그 $-\mathrm {i} \ln \phi _{i}$이다.

예

0-제르브

매끄러운 다양체 $M$ 위의 0-다발 제르브는 단순히 U(1) 주다발이다. 이 경우 2차 정수 코호몰로지와의 대응 사상은 1차 천 특성류에 의해 주어진다.

−1-제르브

(−1)-다발 제르브는 함수 $M\to \mathbb {S} ^{1}$들의 호모토피류 $[f]\in [M,S^{1}]$이다.^{:Example 2.2} $\mathbb {S} ^{1}$은 이산군 $\mathbb {Z}$의 분류 공간이므로, 이는 $\mathbb {Z}$ 주다발과 대응한다.

즉, 구체적으로 이는 각 열린 덮개 $(U_{i})_{i\in I}$에 대하여, 임의의 두 $i,j\in I$에 대하여 “전이 함수”인 정수

$n_{ij}\in \mathbb {Z}$

에 의하여 명시되며, 이는

$n_{ji}=-n_{ij}$

$n_{ij}+n_{jk}+n_{ki}=0$

을 만족시켜야 한다.

또한, $p=1$을 잡으면

• $M$의 열린 덮개 $\{U_{i}\}_{i\in I}$
• 전이 함수 $\phi _{i}\colon U_{i}\to \operatorname {U} (1)$
• (공사슬 조건) 임의의 $i,j\in I$ 및 $x\in U_{i}\cap U_{j}$에 대하여,

  $1=\phi _{i}(x)\phi _{j}(x)$

즉, 만약 $i=j$일 경우 $\phi _{i}=1$이 된다. 이에 따라,

매끄러운 다양체 $M$ 위:

• 전사 함수 $E\twoheadrightarrow M$
• U(1) 주다발 $L\twoheadrightarrow \bullet$
• U(1) 주다발의 동형 사상 $\mu \colon \pi _{12}^{*}L\otimes \pi _{23}^{*}\to \pi _{13}^{*}L$. 여기서 $\pi _{12},\pi _{23},\pi _{13}\colon \bullet \to ??$는 성분별 사영 사상이다.

−2-제르브

(−2)-다발 제르브는 연속 함수 $M\to \mathbb {Z}$이다.^{:Example 2.1}

리 군 위의 제르브

콤팩트 연결 단일 연결 단순 리 군 $G$ 위에는 자연스러운 1-제르브가 정의되어 있다. 이 경우 항상 $H^{3}(G)\cong \mathbb {Z}$이고, 이 대응 사상을 디미에-두아디 사상(영어: Dixmier–Douady map)이라고 한다. 이러한 리 군 $G$는 디스미에-두아디 사상이 1인 코호몰로지류 $B_{0}\in H^{3}(G)$에 대응하는 다발 제르브를 갖춘다. 3차 코호몰로지류로서, 이는 그 리 대수 ${\mathfrak {g}}$의 구조 상수(structure constant)

$f\colon \Lambda ^{3}{\mathfrak {g}}$

의 드람 코호몰로지에 의하여 주어진다. 이러한 1-제르브는 베스-추미노-위튼 모형을 다룰 때 등장하며, 끈 이론의 캘브-라몽 장에 해당한다.

3차원 초구 위의 제르브

구를 남반구와 북반구에 해당하는 열린 덮개로 덮으면, 적도 근방의 겹침 부분에 정의되는 전이 함수

$\mathbb {S} ^{1}\times (-\epsilon ,\epsilon )\to \operatorname {U} (1)$

를 통해 구 위의 U(1) 주다발을 정의할 수 있다. 이러한 전이 함수는 정수인 감음수로 분류되며, 이 정수는 U(1) 주다발의 (1차) 천 특성류(의 적분)에 해당한다 ($\operatorname {H} ^{2}(\mathbb {S} ^{2})\cong \mathbb {Z}$).

마찬가지로, 3차원 초구를 북반구와 남반구에 해당하는 열린 덮개로 덮으면, 적도 근방의 겹침 부분 위에 정의되는 전이 U(1) 주다발

$\operatorname {U} (1)\hookrightarrow \mathbb {S} ^{2}\times (-\epsilon ,\epsilon )$

을 통해 3차원 초구 위의 다발 제르브를 정의할 수 있다. 이러한 전이 U(1) 주다발은 천 특성류의 적분인 정수로 분류되며, 이 정수는 다발 제르브의 디스미에-두아티 코호몰로지류에 해당한다 ($\operatorname {H} ^{3}(\mathbb {S} ^{3})\cong \mathbb {Z}$).^{:Example 4.2}

응용

제르브는 미분형식 전기역학을 다룰 때 등장한다. 1차 미분형식 전기역학인 양-밀스 이론(맥스웰 방정식)을 다룰 때 주다발을 사용하는 것처럼, 고차 미분형식 전기역학을 다룰 때는 제르브를 사용하게 된다. 즉, 게이지장은 제르브의 접속을 이루고, 게이지 장세기는 제르브 접속의 곡률이다.

특히, 끈 이론에서 등장하는 캘브-라몽 장은 제르브로 나타내어진다.

역사

제르브의 일반적인 개념은 알렉산더 그로텐디크의 아이디어들을 발전시켜 장 지로(프랑스어: Jean Giraud, 1936~2007)가 도입하였다. 지로가 지은 이름 "프랑스어: gerbe 제르브^[*]"는 짚단을 뜻한다. 이후 장뤼크 브릴린스키(프랑스어: Jean-Luc Brylinski, 1951~)가 제르브를 더 기하학적인 기법으로 정의하였다. 다발 제르브는 마이클 머리(영어: Michael K. Murray)가 도입하였다.

참고 문헌

• Hitchin, Nigel (1999). “Lectures on special Lagrangian submanifolds” (영어). arXiv:math/9907034. Bibcode:1999math......7034H. 
• Stevenson, Daniel (2000). 《The geometry of bundle gerbes》 (영어). 박사 학위 논문. 애들레이드 대학교. arXiv:math/0004117. 
• Johnson, Stuart (2003). 《Constructions with bundle gerbes》 (영어). 박사 학위 논문. 애들레이드 대학교. arXiv:math/0312175. 
• Breen, Lawrence; Messing, William (2001). “Differential geometry of gerbes” (영어). arXiv:math/0106083. Bibcode:2001math......6083B. 
• Aschieri, Paolo; Cantini, Luigi; Jurčo, Branislav (2005년 3월). “Nonabelian bundle gerbes, their differential geometry and gauge theory”. 《Communications in Mathematical Physics》 (영어) 254 (2): 367–400. arXiv:hep-th/0312154. Bibcode:2005CMaPh.254..367A. doi:10.1007/s00220-004-1220-6. ISSN 0010-3616. 
• Schreiber, Urs; Waldorf, Konrad (2008). “Connections on non-abelian gerbes and their holonomy” (영어). arXiv:0808.1923. Bibcode:2008arXiv0808.1923S. 

외부 링크

• “Bundle gerbe”. 《nLab》 (영어). 
• “Connection on a 2-bundle”. 《nLab》 (영어). 
• “Principal 2-bundle”. 《nLab》 (영어). 
• “Nonabelian bundle gerbe”. 《nLab》 (영어). 
• Schreiber, Urs (2006년 10월 13일). “Bundle gerbes: connections and surface transport”. 《The n-Category Café》 (영어). 
• Schreiber, Urs (2006년 10월 13일). “Bundle gerbes: connections and surface transport”. 《The n-Category Café》 (영어).