북의 모양 듣기: 두 판 사이의 차이
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2023년 11월 24일 (금) 17:30 판
북의 모양 듣기는 북이 내는 소리, 즉 배음 목록에서 북 경계의 모양에 대한 정보를 추론하는 것이다. 경계의 모양이 같은 북이 내는 소리들은 동일한데, 이와 반대로, 북이 내는 소리로 북의 모양이 유일하게 결정되는지에 대한 의문이 제기 되었다. 만약 이 추측이 참이라면, 북의 경계 모양과 배음 목록 사이에 1대1 대응이 존재하게 되나, 이는 평면 내부의 막에서 조차 일반적으로 거짓으로 증명되었다.
"북 모양을 들을 수 있는가?"라는 문구는 이 질문을 유명하게 만든 American Mathematical Monthly의 Mark Kac의 1966년 논문 제목이다. 원래는 Lipman Bers에서 유래한다. 비슷한 질문은 1882년 물리학자 Arthur Schuster까지 거슬러 올라간다.[1] 그의 논문으로 Kac은 1967년에 Lester R. Ford Award를, 1968년에는 Chauvenet Prize를 받았다 [2]
북의 막이 진동할 수 있는 주파수는 막 가장자리의 모양에 따라 다르다. 모양이 알려진 막의 주파수는 헬름홀츠 방정식을 통해 계산한다. 이러한 주파수는 주어진 공간 안의 라플라스 연산자의 고유값이다. 핵심 질문은 주파수를 알면 모양을 예측할 수 있는지 여부이다. 예를 들어, 뢸로 삼각형이 이런 방식으로 인식될 수 있는지 여부이다. [3] Kac은 두 가지 다른 모양이 동일한 주파수 집합을 생성하는 것이 가능한지 여부를 알지 못했다고 인정했다. 주파수가 모양을 결정하는지에 대한 질문은 1990년대 초 고르돈, 웹 및 볼페르트에 의해 마침내 그렇지 않은 것으로 결론이 났다.
공식적 진술
보다 공식적으로 북은 경계가 고정된 탄성 막으로 본다. 이는 수학적으로 평면에서 영역 이다. 에 대한 디리클레 고유값을 으로 표시한다. 즉, 라플라스 연산자에 대한 디르클레 문제의 고유값이다.
두 영역이 동일한 고유값들을 갖는 경우 아이소스펙트럼(또는 동음성)이라고 한다. "동음"이라는 용어는 디리클레 고유값이 정확하게 북이 생성할 수 있는 기본 음이기 때문에 정당화된다. 이는 경계가 고정된 해 파동 방정식에서 푸리에 급수의 푸리에 계수로 자연스럽게 나타난다.
따라서 질문은 다음과 같이 다시 공식화될 수 있다. 값만 알면 에 대해 무엇을 추론할 수 있는가? 또는 더 구체적으로 말하면, 스펙트럼이 같은 두 개의 서로 다른 영역이 있는가?
관련 문제는 더 높은 차원의 영역이나 리만 다양체의 라플라스 연산자에 대한 디리클레 문제뿐만 아니라 코시-리만 연산자 또는 디랙 연산자와 같은 기타 타원 미분 연산자에 대해 공식화될 수 있다. 디르클레 조건 외에 노이만 경계 조건과 같은 다른 경계 조건을 적용할 수 있다. 스펙트럼 기하학 참조
대답
1964년에 존 밀너는 에른스트 비트가 제시한 격자에 관한 정리가 고유값들은 동일하지만 모양이 다른 한 쌍의 16차원 평면 원환체의 존재를 암시한다는 사실을 발견했다. 그러나 2차원 문제는 1992년 고르돈, 데이비드 웹 및 스콧 볼페르트가 스나다 방법을 기반으로 평면에서 모양은 다르지만 고유값은 동일한 한 쌍의 영역을 구성할 때까지 남아 있었다. 영역은 오목한 다각형이다. 두 영역이 동일한 고유값을 갖는다는 증명은 라플라스 연산자의 대칭성을 사용한다. 이 아이디어는 수많은 비슷한 사례를 구성한 Buser, 콘웨이, 도일 및 Semmler[4]에 의해 일반화되었다. 따라서 Kac의 질문에 대한 대답은 다음과 같다. 많은 모양들에 대해 북 모양을 완전히 들을 수 없다. 그러나 일부 정보는 추론할 수 있다.
반면, 스티브 젤디치는 평면에서 해석적 경계가 있는 특정 볼록 영역으로 제한하면 Kac의 질문에 대한 대답이 긍정적이라는 것을 증명했다. 두 개의 볼록하지 않은 해석적 영역이 동일한 고유값을 가질 수 있는지 여부는 알려져 있지 않다. 주어진 영역과 스펙트럼이 같은 영역들의 집합은 위상에서 콤팩트하다는 것이 알려져 있다. 더욱이, (예를 들어)구는 쳉의 고유치 비교 정리에 의해 스펙트럼적으로 고정되어 있다. 오스굿, 필립스 및 사르낙의 결과에 따르면 주어진 종수의 리만 곡면의 모듈라이 공간은 어떤 점에서도 연속적인 아이소스펙트럼 흐름을 허용하지 않으며 프레셰-슈바르츠 위상에서 콤팩트하다는 것이 알려져 있다.
바일의 공식
바일의 공식에 따르면 이 얼마나 빠르게 증가하는지 계산하여 북의 면적 를 추론할 수 있다. 을 보다 작은 고유값의 수로 정의하면 다음을 얻는다.
여기서 는 차원이고, s는 차원 단위 공의 부피이다. 바일은 또한 아래 근사의 다음 항이 의 둘레를 제공할 것이라고 추측했다. 즉, 이 둘레의 길이(또는 더 높은 차원의 표면적)를 나타내는 경우 다음을 가져야 한다.
매끄러운 경계에 대해서는 1980년 빅토르 이브리가 이를 증명했다. 또한 다양체는 구에서 처럼 주기적인 측지선의 2개 매개변수 족을 가질 수 없다.
바일-베리 추측
매끄럽지 않은 경계의 경우 마이클 베리는 1979년에 수정이 다음과 같은 order로 이루어져야 한다고 추측했다.
여기서 는 경계의 하우스도르프 차원이다. 그러나 이 추측은 브로사르와 카르모나에 의해 반증되었다. 이들은 하우스도르프 차원을 상위 상자 차원으로 대체해야 한다고 제안했다. 평면에서는 경계에 1차원이 있는지 여부가 증명되었다.(1993), 그러나 더 높은 차원에 대해서는 대부분 반증되었다(1996); 두 결과 모두 Lapidus 와 Pomerance에 의한 것이다.
같이보기
- 가스만 세쌍
- 스펙트럼 기하학
- 원형막의 진동
- 반복된 함수 시스템 프랙탈 도형의 확장 [5]
각주
- ↑ Crowell, Rachel (2022년 6월 28일). “Mathematicians Are Trying to 'Hear' Shapes—And Reach Higher Dimensions”. 《Scientific American》. 2022년 11월 15일에 확인함.
- ↑ “Can One Hear the Shape of a Drum? | Mathematical Association of America”.
- ↑ Kac, Mark (April 1966). “Can One Hear the Shape of a Drum?” (PDF). 《American Mathematical Monthly》 73 (4, part 2): 16. doi:10.2307/2313748. JSTOR 2313748.
- ↑ Buser 등. 1994.
- ↑ Arrighetti, W.; Gerosa, G. (2005). 《Can you hear the fractal dimension of a drum?》. Series on Advances in Mathematics for Applied Sciences 69. World Scientific. 65–75쪽. arXiv:math.SP/0503748. doi:10.1142/9789812701817_0007. ISBN 978-981-256-368-2.
참고문헌
- Abikoff, William (January 1995), “Remembering Lipman Bers” (PDF), 《Notices of the AMS》 42 (1): 8–18
- Brossard, Jean; Carmona, René (1986). “Can one hear the dimension of a fractal?”. 《Comm. Math. Phys.》 104 (1): 103–122. Bibcode:1986CMaPh.104..103B. doi:10.1007/BF01210795.
- [Jürg Peter Buser Jürg Peter Buser]
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이(가) 없거나 비었음 (도움말) - Chapman, S.J. (1995). “Drums that sound the same”. 《American Mathematical Monthly》 102 (February): 124–138. doi:10.2307/2975346. JSTOR 2975346.
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- Gordon, Carolyn; Webb, David (1996), “You can't hear the shape of a drum”, 《American Scientist》 84 (January–February): 46–55, Bibcode:1996AmSci..84...46G
- Gordon, C.; Webb, D.; Wolpert, S. (1992), “Isospectral plane domains and surfaces via Riemannian orbifolds”, 《Inventiones Mathematicae》 110 (1): 1–22, Bibcode:1992InMat.110....1G, doi:10.1007/BF01231320, S2CID 122258115
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- Kac, Mark (April 1966). “Can One Hear the Shape of a Drum?” (PDF). 《American Mathematical Monthly》 73 (4, part 2): 1–23. doi:10.2307/2313748. JSTOR 2313748.
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- Lapidus, Michel L. (1993), 〈Vibrations of fractal drums, the Riemann hypothesis, waves in fractal media, and the Weyl–Berry conjecture〉, B. D. Sleeman; R. J. Jarvis, 《Ordinary and Partial Differential Equations, Vol IV, Proc. Twelfth Internat. Conf. (Dundee, Scotland, UK, June 1992)》, Pitman Research Notes in Math. Series 289, London: Longman and Technical, 126–209쪽
- Lapidus, M. L.; van Frankenhuysen, M. (2000), 《Fractal Geometry and Number Theory: Complex dimensions of fractal strings and zeros of zeta functions》, Boston: Birkhauser.(Revised and enlarged second edition to appear in 2005.)
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- Lapidus, Michel L.; Pomerance, Carl (1996), “Counterexamples to the modified Weyl–Berry conjecture on fractal drums”, 《Math. Proc. Cambridge Philos. Soc.》 119 (1): 167–178, Bibcode:1996MPCPS.119..167L, doi:10.1017/S0305004100074053, S2CID 33567484
- Milnor, John (1964), “Eigenvalues of the Laplace operator on certain manifolds”, 《Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America》 51 (4): 542ff, Bibcode:1964PNAS...51..542M, doi:10.1073/pnas.51.4.542, PMC 300113, PMID 16591156
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외부 링크
- 두 개의 북에서 파동 방정식의 해를 보여주는 시뮬레이션
- University of Delaware의 Toby Driscoll이 제작한 등분광 북
- Peter Buser, John Horton Conway, Peter Doyle 및 Klaus-Dieter Semmler의 일부 평면 등분광 영역
- 미국수학협회 웹사이트의 Ivars Peterson이 쓴 비슷한 소리의 북
- Benguria, Rafael D. (2001). “Dirichlet eigenvalue”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. ISBN 978-1-55608-010-4.