수심 (기하학)

수심

기하학에서, 수심(垂心, 영어: orthocenter)은 삼각형의 각 꼭짓점에서 대변에 내린 수선이 공통으로 지나는 점이다.

정의

삼각형 $ABC$의 꼭짓점 $A$, $B$, $C$를 지나는 변 $BC$, $AC$, $AB$의 수선은 한 점 $H$에서 만난다. 이 경우 점 $H$를 삼각형 $ABC$의 수심이라고 한다.

증명 (공원점을 통한 증명):

꼭짓점 $B$와 $C$에서 대변에 내린 수선의 발을 $H_{B}$와 $H_{C}$라고 하고, 두 수선의 교점을 $H$라고 하자. 또한 직선 $AH$와 $BC$의 교점을 $H_{A}$라고 하자. 그렇다면,

$\angle AH_{B}H=\angle AH_{C}H=\angle BH_{B}C=\angle BH_{C}C=90^{\circ }$

이므로 점 $H_{B}$와 $H_{C}$는 선분 $AH$를 지름으로 하는 원 위의 점이자, 선분 $BC$를 지름으로 하는 원 위의 점이다. 특히 점 $A$, $H_{B}$, $H$, $H_{C}$는 공원점이며, 점 $B$, $C$, $H_{B}$, $H_{C}$ 역시 공원점이다. 원주각의 성질에 의하여

$\angle HAH_{B}=\angle HH_{C}H_{B}=\angle HBC$

이다. 또한 점 $A$와 $B$는 직선 $H_{A}H_{B}$의 같은 쪽의 점이므로, 점 $A$, $B$, $H_{A}$, $H_{B}$는 공원점이다. 이 원에 원주각의 성질을 적용하면

$\angle AH_{A}B=\angle AH_{B}B=90^{\circ }$

를 얻는다. 즉, 직선 $AH$는 직선 $BC$의 수선이다.

증명 (외심과 무게 중심을 통한 증명):^{:17, §2.1}

정삼각형의 각 꼭짓점을 지나는 대변의 수선은 대변의 수직 이등분선과 일치하고, 세 수직 이등분선은 공점선이므로, 정삼각형의 각 꼭짓점을 지나는 대변의 수선 역시 공점선이다. 정삼각형이 아닌 삼각형 $ABC$의 외심과 무게 중심을 $O$와 $G$라고 하자. 그렇다면 $O\neq G$이다. 변 $BC$의 중점을 $P$라고 하고, 선분 $OG$의 $O$에서 $G$를 향하는 연장선 위에서 $GH=2OG$인 점 $H$를 잡자. 그렇다면 $AG=2GP$이고 $\angle AGH=\angle PGO$이므로, 삼각형 $AGH$와 $PGO$는 서로 닮음이다. 특히 $\angle GAH=\angle GPO$이므로 직선 $AH$와 $OP$는 평행한다. 점 $O$는 외심이므로 직선 $OP$는 변 $BC$의 수선이다. 따라서 직선 $AH$ 역시 변 $BC$의 수선이다. 마찬가지로 직선 $BH$와 직선 $CH$는 각각 변 $AC$와 $AB$의 수선이다.

증명 (근축을 통한 증명):^{:38, §2.4}

꼭짓점 $A$, $B$, $C$에서 대변에 내린 수선의 발을 $H_{A}$, $H_{B}$, $H_{C}$라고 하자. 그렇다면, 변 $AB$와 $AC$를 지름으로 하는 원은 모두 점 $A$와 $H_{A}$를 지나므로, 두 원의 근축은 직선 $AH_{A}$이다. 마찬가지로, 변 $AB$와 $BC$를 지름으로 하는 두 원읜 근축은 직선 $BH_{B}$이며, 변 $AC$와 $BC$를 지름으로 하는 두 원의 근축은 직선 $CH_{C}$이다. 따라서, 직선 $AH_{A}$, $BH_{B}$, $CH_{C}$는 세 원의 근심 $H$에서 만난다.

수심 삼각형

삼각형 $ABC$에 대한 수심 $H$의 수족 삼각형을 삼각형 $ABC$의 수심 삼각형(垂心三角形, 영어: orthic triangle)이라고 한다. 즉, 꼭짓점 $A$, $B$, $C$에서 대변에 내린 수선의 발을 $H_{A}$, $H_{B}$, $H_{C}$라고 할 경우 삼각형 $H_{A}H_{B}H_{C}$는 삼각형 $ABC$의 수심 삼각형이다.

수심계

직각 삼각형이 아닌 삼각형 $ABC$의 수심을 $H$라고 할 경우, 삼각형 $BCH$, $ACH$, $ABH$의 수심은 각각 $A$, $B$, $C$이다. 이 경우 네 점 $A$, $B$, $C$, $H$의 지위는 동등하며, 이 경우 네 점 $A$, $B$, $C$, $H$가 수심계(垂心系, 영어: orthocentric system)를 이룬다고 한다.

증명:^{:61, §2C}

점 $H$가 삼각형 $ABC$의 수심인 것은 직선 $AH$, $BH$, $CH$는 각각 직선 $BC$, $AC$, $AB$의 수선인 것과 동치이다. 이는 점 $A$, $B$, $C$, $H$ 가운데 임의의 두 점을 잇는 직선이 남은 두 점을 잇는 직선의 수선인 것과 동치이며, 따라서 이 조건에서 네 점 $A$, $B$, $C$, $H$의 역할을 바꿔도 이 조건은 변하지 않는다. 즉, 점 $H$ 대신 남은 세 점 $A$, $B$, $C$ 가운데 하나를 수심으로 삼아도 원래 조건과 동치이다.

성질

예각 삼각형의 수심은 삼각형 내부의 점이다. 직각 삼각형의 수심은 직각의 꼭짓점이다. 둔각 삼각형의 수심은 삼각형 외부의 점이다.

삼각형 $ABC$의 각 꼭짓점 $A$, $B$, $C$에서 대변에 내린 수선의 발을 $H_{A}$, $H_{B}$, $H_{C}$라고 하고, 수심을 $H$라고 할 경우, 사각형 $ABH_{A}H_{B}$, $BCH_{B}H_{C}$, $CAH_{C}H_{A}$, $AH_{B}HH_{C}$, $BH_{A}HH_{C}$, $CH_{B}HH_{A}$는 모두 내접 사각형이다.

외접원과의 관계

삼각형의 수심과 한 꼭짓점 사이의 거리는 외심과 대변 사이의 거리의 2배이다.^{:23, §2.4}

삼각형 $ABC$의 각 변을 축으로 하는 반사에 대한 수심 $H$의 상은 외접원 위의 점이다. 예를 들어 꼭짓점 $A$를 지나는 변 $BC$의 수선의 발을 $H_{A}$라고 하고, 이 수선의 연장선과 외접원의 교점을 $R_{BC}(H)$이라고 할 경우, 점 $H_{A}$는 선분 $HR_{BC}(H)$의 중점이다.^{:18, §2.2}

증명:^{:18, §2.2}

각 $\angle BR_{BC}(H)H$와 $\angle C$는 모두 호 $AB$에 대한 원주각이며, 각 $\angle BHR_{BC}(H)$와 $\angle C$는 모두 각 $\angle HBH_{A}$의 여각이므로,

$\angle BR_{BC}(H)H=\angle C=\angle BHR_{BC}(H)$

이다. 따라서 삼각형 $BHR_{BC}(H)$는 밑변이 $HR_{BC}(H)$인 이등변 삼각형이다. 또한 직선 $BH_{A}$는 꼭짓점 $B$를 지나는 변 $HR_{BC}(H)$의 수선이므로, 점 $H_{A}$는 변 $HR_{BC}(H)$의 중점이다.

삼각형 $ABC$의 외심 $O$와 각 꼭짓점을 잇는 선분 $OA$, $OB$, $OC$는 각각 수심 삼각형의 변 $H_{B}H_{C}$, $H_{A}H_{C}$, $H_{A}H_{B}$의 수선이다.^{:22, §2.3, (b)}

삼각형 $ABC$의 한 꼭짓점 $A$를 축으로 하는 반사에 대한 수심 $H$의 상을 $R_{A}(H)$라고 하고, 대변 $BC$의 중점 $M_{A}$를 축으로 하는 반사에 대한 꼭짓점 $A$의 상을 $R_{M_{A}}(A)$라고 할 경우, 외심 $O$는 선분 $R_{A}(H)R_{M_{A}}(A)$의 중점이다.^{:25, §2.4}

삼각형 $ABC$이 주어졌을 때, 직선 $QR$가 꼭짓점 $A$를 지나는 변 $BC$의 평행선이라고 하고, 직선 $PR$가 꼭짓점 $B$를 지나는 변 $AC$의 평행선이라고 하고, 직선 $PQ$가 꼭짓점 $C$를 지나는 변 $AB$의 평행선이라고 할 경우, 삼각형 $ABC$의 수심 $H$는 삼각형 $PQR$의 외심이다.

계량적 성질

삼각형 $ABC$의 꼭짓점 $A$, $B$, $C$에서 대변에 내린 수선의 발을 $H_{A}$, $H_{B}$, $H_{C}$라고 하고, 수심을 $H$라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.^{:37, §2.4, (2.42)}

$\angle H_{A}AO=|\angle B-\angle C|$

$\angle H_{B}BO=|\angle A-\angle C|$

$\angle H_{C}CO=|\angle A-\angle B|$

즉, 삼각형의 각 꼭짓점을 지나는 수선과 외접원의 반지름 사이의 각의 크기는 삼각형의 남은 두 각의 크기의 차와 같다.

증명:^{:36-37, §2.4}

점 $A$를 지나는 외접원의 지름의 다른 한 끝점을 $R_{O}(A)$라고 하자. 그렇다면 각 $\angle B$와 $\angle R_{O}(A)$는 모두 호 $AC$에 대한 원주각이므로

$\angle B=\angle R_{O}(A)$

이다. 따라서,

${\begin{aligned}\angle H_{A}AO&=|\angle A-\angle BAH_{A}-\angle CAR_{O}(A)|\\&=|\angle A-2(90^{\circ }-\angle B)|\\&=|\angle A+2\angle B-(\angle A+\angle B+\angle C)|\\&=|\angle B-\angle C|\end{aligned}}$

이다.

또한, 다음이 성립한다.^{:19, §2.2, (b)}

$AH_{A}\cdot HH_{A}=BH_{A}\cdot CH_{A}$

$BH_{B}\cdot HH_{B}=AH_{B}\cdot CH_{B}$

$CH_{C}\cdot HH_{C}=AH_{C}\cdot BH_{C}$

즉, 각 꼭짓점에서 대변에 내린 수선의 길이와 수심부터 수선의 발까지의 거리의 곱은 수선으로 나눈 대변의 두 부분의 길이의 곱과 같다.

증명:^{:19, §2.2, (b)}

변 $BC$를 축으로 하는 반사에 대한 수심 $H$의 상을 $R_{BC}(H)$이라고 하자. 그렇다면 외접원의 점 $H_{A}$를 지나는 두 현 $AR_{BC}(H)$과 $BC$에 대한 방멱 정리에 의하여

$AH_{A}\cdot HH_{A}=AH_{A}\cdot H_{A}R_{BC}(H)=BH_{A}\cdot CH_{A}$

이다.

또한, 다음이 성립한다.^{:37, §2.4, (2.44)}

$AH\cdot HH_{A}=BH\cdot HH_{B}=CH\cdot HH_{C}$

즉, 수심으로 나눈 각 수선의 두 부분의 길이의 곱은 같다.

증명:^{:37, §2.4}

점 $A$, $B$, $H_{A}$, $H_{B}$는 공원점이므로, 두 현 $AH_{A}$와 $BH_{B}$에 대한 방멱 정리에 의하여

$AH\cdot HH_{A}=BH\cdot HH_{B}$

이다.

삼각형 $ABC$의 세 변의 길이를 $BC=a$, $AC=b$, $AB=c$, 반둘레를 $s$, 외접원의 반지름을 $R$, 내접원의 반지름을 $r$라고 하자. 그렇다면, 이 삼각형의 외심 $O$, 내심 $I$, 수심 $H$를 잇는 삼각형 $OIH$의 넓이는

${\begin{aligned}S_{OIH}&=2R^{2}\sin {\frac {A-B}{2}}\sin {\frac {B-C}{2}}\sin {\frac {C-A}{2}}\\&={\frac {|a-b||b-c||c-a|}{8r}}\\&={\frac {\sqrt {-s^{4}+2s^{2}(2R^{2}+10Rr-r^{2})-r(4R+r)^{3}}}{4}}\end{aligned}}$

이다.^{:2, §1.1.1, Theorem B1}

체비언과의 관계

삼각형의 세 체비언을 지름으로 하는 원은 수심을 지나는 직선을 근축으로 갖는 동축원이거나, 수심을 근심으로 갖는다.^{:38, §2.4, Theorem 2.45-2.46} 만약 삼각형 $ABC$의 각 꼭짓점을 지나는 체비언 $AX$, $BY$, $CZ$의 꼭짓점이 아닌 끝점 $X$, $Y$, $Z$가 공선점이라면 (이는 체바 정리의 전제 조건과 같다), 네 삼각형 $ABC$, $AYZ$, $BXZ$, $CXY$의 수심은 공선점을 이루며, 이에 따라 선분 $AX$, $BY$, $CZ$를 지름으로 하는 세 원은 수심들의 직선을 근축으로 하는 동축원을 이룬다.^{:39, §2.4, Theorem 2.47}

오일러 직선과 구점원

삼각형 $ABC$의 수심을 $H$라고 하고, 무게 중심과 외심을 $G$와 $O$라고 할 경우, 점 $H$는 반직선 $OG$ 위의 점이며, 또한

$GH=2GO$

가 성립한다. 특히, 삼각형의 수심, 무게 중심, 외심은 공선점이다. 정삼각형의 수심, 무게 중심, 외심은 일치한다. 정삼각형이 아닌 삼각형의 수심, 무게 중심, 외심을 모두 지나는 직선은 유일하게 존재한다. 이 직선을 삼각형의 오일러 직선이라고 한다.

삼각형의 각 꼭짓점에서 대변에 내린 수선의 발, 각 변의 중점, 각 꼭짓점과 수심을 잇는 선분의 중점은 공원점을 이루며, 이들 9개의 점을 지나는 원을 구점원이라고 한다. 특히, 구점원은 수심 삼각형과 중점 삼각형의 공통 외접원이다. 구점원의 중심은 무게 중심과 외심을 잇는 선분의 중점이며, 특히 정삼각형이 아닐 경우 이는 오일러 직선 위의 점이다.

수심 삼각형의 성질

예각 삼각형의 수심은 수심 삼각형의 내심이며,^{:17, §1.6, Theorem 1.61} 둔각 삼각형의 수심은 수심 삼각형의 방심이다.^{:18, §1.6, Exercise 3} 특히, 수심계 속 네 점은 수심 삼각형의 내심과 세 방심을 이룬다. 임의의 삼각형의 구점원은 수심 삼각형의 외접원이다.

예각 삼각형의 수심 삼각형은 둘레가 가장 짧은 내접 삼각형이다. 예각 삼각형의 둘레가 가장 짧은 내접 삼각형을 찾는 문제를 파그나노 문제라고 한다.

수심계의 성질

세 점 $A$, $B$, $C$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.^{:61-62, §2C}

• 점 $A$, $B$, $C$를 포함하는 수심계가 존재한다.
• 점 $A$, $B$, $C$는 공선점이 아니며, 삼각형 $ABC$는 직각 삼각형이 아니다.

수심계 $A$, $B$, $C$, $H$ 속 네 삼각형 $ABC$, $ABH$, $ACH$, $BCH$의 수심 삼각형과 구점원은 일치하며, 외접원의 반지름은 같다. 또한, 네 삼각형 가운데 정삼각형이 아닌 것들의 오일러 직선은 공통 구점원의 중심을 교점으로 하는 공점선이다.

증명:

점 $H_{A}$, $H_{B}$, $H_{C}$가 각각 직선 $AH$와 $BC$의 교점, 직선 $BH$와 $AC$의 교점, 직선 $CH$와 $AB$의 교점이라고 하자. 그렇다면, 이들은 네 점 $A$, $B$, $C$, $H$가 각각 3가지 방식으로 둘씩 짝을 지어 만든 두 직선의 교점이므로, 삼각형 $H_{A}H_{B}H_{C}$는 네 삼각형의 공통 수심 삼각형이다. 따라서, 수심계 속 네 삼각형은 공통 수심 삼각형의 외접원을 공통 구점원으로 갖는다. 또한, 네 삼각형의 외접원의 반지름은 공통 구점원의 반지름의 2배이며, 네 삼각형 가운데 정삼각형이 아닌 것들의 오일러 직선은 공통 구점원의 중심을 지난다.

외부 링크

• “Main Page”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Orthocenter”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Orthic triangle”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Orthocentric system”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.