정규 공간

위상 공간의 분리공리
T0	콜모고로프 공간
T1
T2	하우스도르프 공간
T2½	우리손 공간
완전 T2½	완비 하우스도르프 공간
T3	정칙 하우스도르프 공간
T3½	티호노프 공간
T4	정규 하우스도르프 공간
T5	완비 정규 하우스도르프 공간
T6	완전 정규 하우스도르프 공간

일반위상수학에서, 정규 공간(正規空間, 영어: normal space)은 서로소 닫힌집합들을 서로소 근방 또는 연속 실함수로 분리할 수 있는 위상 공간이다. 정규 공간에는 "충분한 수의" 연속 실함수가 존재하여, 닫힌집합에 정의된 실함수를 공간 전체로 연장할 수 있다 (티체 확장 정리 Tietze擴張定理, 영어: Tietze extension theorem).

정의

정규 공간의 정의

위상 공간 $X$에 대하여 다음 네 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 정규 공간이라고 한다.

• 임의의 두 서로소 닫힌집합 $E,F\subseteq X$에 대하여, $E\subset U$, $F\subset V$인 서로소 열린집합 $U,V\subset X$가 존재한다.
• (우리손 보조정리 Урысон補助定理, 영어: Urysohn lemma) 임의의 두 서로소 닫힌집합 $E,F\subseteq X$에 대하여, $f|_{E}=0$이자 $f|_{F}=1$인 연속 함수 $f\colon X\to [0,1]$가 존재한다.^:207
• (실수 티체 확장 정리) 임의의 닫힌집합 $E\subseteq X$ 및 연속 함수 $f\colon E\to \mathbb {R}$에 대하여, ${\tilde {f}}|_{E}=f$가 되는 연속 함수 ${\tilde {f}}\colon X\to \mathbb {R}$가 존재한다.^:219
• (폐구간 티체 확장 정리) 임의의 닫힌집합 $E\subseteq X$ 및 폐구간 $[a,b]\subseteq \mathbb {R}$ 및 연속 함수 $f\colon E\to [a,b]$에 대하여, ${\tilde {f}}|_{E}=f$가 되는 연속 함수 ${\tilde {f}}\colon X\to [a,b]$가 존재한다.^:219

즉, 두 닫힌집합을 근방으로 분리하는 것은 실함수로서 분리하는 것과 동치이다.

T₄ 공간 (T₄空間, 영어: T₄ space)은 정규 하우스도르프 공간이다.

완전 정규 공간

위상 공간 $X$에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 완전 정규 공간(完全正規空間, 영어: perfectly normal space)이라고 한다.^{:213, Exercise 6}

• 임의의 서로소 닫힌집합 $E,F\subseteq X$에 대하여, $f^{-1}(0)=A$이자 $f^{-1}(1)=B$인 연속 함수 $f\colon X\to [0,1]$가 존재한다.
• 임의의 서로소 닫힌집합 $E,F\subseteq X$에 대하여, $f^{-1}(0)=A$이자 $f^{-1}(1)=B$인 연속 함수 $f\colon X\to \mathbb {R}$가 존재한다.
• 모든 닫힌집합 $E\subseteq X$은 G_δ 집합이다.

완전 정규 하우스도르프 공간을 T₆ 공간(T₆空間, 영어: T₆ space)이라고 한다.

성질

함의 관계

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.^:213

거리화 가능 공간 ⊊ 완전 정규 하우스도르프 공간(T₆) ⊊ 유전 정규 하우스도르프 공간(T₅) ⊊ 정규 하우스도르프 공간(T₄) ⊊ 티호노프 공간(T_3½) ⊊ (정칙 하우스도르프 공간(T₃) ∩ 완비 하우스도르프 공간)

완전 정규 공간 ⊊ 유전 정규 공간 ⊊ 정규 공간

모든 파라콤팩트 하우스도르프 공간은 정규 공간이다.

정칙성과의 관계

정규 공간이 정칙 공간일 필요는 없다. 그러나 정규 공간에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• R₀ 공간이다.
• 완비 정칙 공간이다.

즉, 정규성에 R₀ 공간이라는 아주 약한 조건을 추가하면 (완비) 정칙성을 함의한다.

연산에 대한 닫힘

정규 공간의 닫힌집합은 정규 공간이다. 그러나 이는 임의의 부분 집합에 대하여 성립하지 않을 수 있다. 모든 부분 공간이 정규 공간인 위상 공간을 유전 정규 공간(遺傳正規空間, 영어: hereditarily normal space) 또는 완비 정규 공간(完備正規空間, 영어: completely normal space)이라고 하며, 유전 정규 하우스도르프 공간을 T₅ 공간(T₅空間, 영어: T₅ space)이라고 한다.

정규 공간 $X$와 연속 함수 $f\colon X\to Y$가 주어졌을 때, 만약 $f$의 치역 $f(X)$가 $Y$의 닫힌집합이라면 $f(X)$는 정규 공간이다.

정규 공간들의 곱공간은 정규 공간이 아닐 수 있다. 심지어, 정규 공간 $X$에 대하여, $X\times [0,1]$이 정규 공간이 아닐 수도 있다.

예

대수기하학이나 일반위상수학을 제외하고, 수학에 흔히 등장하는 대부분의 위상 공간은 정규 공간이다.

비가산 개의 비(非)콤팩트 거리화 가능 공간들의 곱공간은 항상 정규 공간이 아니다.

역사

정규 공간의 개념은 1923년에 오스트리아의 수학자 하인리히 프란츠 프리드리히 티체(독일어: Heinrich Franz Friedrich Tietze, 1880~1964)가 도입하였다.^{:TG IX.127}

티체 확장 정리는 원래 라위트전 브라우어르와 앙리 르베그가 유클리드 공간에 대하여 증명하였고, 이후 티체가 이를 임의의 거리화 가능 공간에 대하여 일반화하였다. 이후 파벨 사무일로비치 우리손이 1925년에 우리손 보조정리를 사용하여 이를 임의의 정규 공간에 대하여 증명하였다.

1951년에 클리퍼드 휴 다우커(영어: Clifford Hugh Dowker)는 정규 공간 $X$에 대하여, $X\times [0,1]$이 정규 공간이 아니라면, $X$가 여러 특수한 성질들을 갖는다는 것을 보였다. 다우커는 이러한 공간들이 존재하지 않는다고 추측하였으나, 1971년에 메리 엘렌 루딘(영어: Mary Ellen Rudin)이 이러한 공간들이 실재함을 증명하였다.

정규 공간에 대하여 니콜라 부르바키는 다음과 같이 적었다.

“	최근 연구에 따르면, 이러한 유의 문제에 대하여, 정규 공간의 개념은 지나치게 "병적인" 현상이 많아 불편하다. 대신, 1944년에 J. 디외도네가 도입한, 더 제한적인 파라콤팩트 공간의 개념을 사용하는 것이 낫다. […] Les travaux récents ont mis en évidence que, dans ce genre de questions, la notion d’espace normal est peu maniable, parce qu’elle offre encore trop de possibilités de «pathologie»; on doit le plus souvent lui substituer la notion plus restrictive d’espace paracompact, introduite en 1944 par J. Dieudonné […].	”
	— :TG IX.127

참고 문헌

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• Hartig, Donald (1978년 1월). “An important functor in analysis and topology”. 《The American Mathematical Monthly》 (영어) 85 (1): 41–43. doi:10.2307/2978049. ISSN 0002-9890. JSTOR 2978049. 

바깥 고리

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• “Urysohn-Brouwer lemma”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Normal space”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Tietze's extension theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Urysohn's lemma”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Normal space”. 《nLab》 (영어). 
• “Perfectly normal space”. 《nLab》 (영어). 
• “Tietze extension theorem”. 《nLab》 (영어). 
• “Normal space”. 《Topospaces》 (영어). 
• “Perfectly normal space”. 《Topospaces》 (영어). 
• “Varying normality”. 《Topospaces》 (영어). 
• “Hereditarily normal space”. 《Topospaces》 (영어). 
• “Monotonically normal space”. 《Topospaces》 (영어). 
• “Tietze extension theorem”. 《Topospaces》 (영어). 
• “Urysohn's lemma”. 《Topospaces》 (영어). 
• “Hahn-Dieudonne-Tong insertion theorem”. 《Topospaces》 (영어). 
• Ma, Dan (2009년 11월 10일). “A theorem about hereditary normality”. 《Dan Ma’s Topology Blog》 (영어). 
• Ma, Dan (2009년 10월 19일). “Normal × compact needs not be normal”. 《Dan Ma’s Topology Blog》 (영어). 
• Ma, Dan (2015년 4월 14일). “When a product space is hereditarily normal”. 《Dan Ma’s Topology Blog》 (영어). 
• Ma, Dan (2015년 5월 3일). “The product of uncountably many factors is never hereditarily normal”. 《Dan Ma’s Topology Blog》 (영어). 
• Ma, Dan (2014년 3월 18일). “The normality of the product of the first uncountable ordinal with a compact factor”. 《Dan Ma’s Topology Blog》 (영어).