군 스킴: 두 판 사이의 차이
Osteologia (토론 | 기여) 편집 요약 없음 |
Osteologia (토론 | 기여) |
||
64번째 줄: | 64번째 줄: | ||
* {{cite book |성1=Gabriel|이름=Peter|성2= Demazure|이름2= Michel |title=Introduction to algebraic geometry and algebraic groups |publisher=North-Holland |location=Amsterdam |날짜=1980|isbn=0-444-85443-6 | 언어=en}} |
* {{cite book |성1=Gabriel|이름=Peter|성2= Demazure|이름2= Michel |title=Introduction to algebraic geometry and algebraic groups |publisher=North-Holland |location=Amsterdam |날짜=1980|isbn=0-444-85443-6 | 언어=en}} |
||
* {{서적 인용 |장url = http://math.stanford.edu/~conrad/papers/luminysga3.pdf | 이름=Brian | 성=Conrad | 장=Reductive group schemes | 제목 = Autour des schémas en groupes. École d’été “Schémas en groupes”. Volume I | url = http://smf4.emath.fr/Publications/PanoramasSyntheses/2014/42-43/html/smf_pano-synth_42-43.php | zbl = 06479627 | isbn = 978-2-85629-794-0 | 출판사=Société Mathématique de France | 총서=Panoramas et Synthèses | 권=42 | 언어=en}} |
* {{서적 인용 |장url = http://math.stanford.edu/~conrad/papers/luminysga3.pdf | 이름=Brian | 성=Conrad | 장=Reductive group schemes | 제목 = Autour des schémas en groupes. École d’été “Schémas en groupes”. Volume I | url = http://smf4.emath.fr/Publications/PanoramasSyntheses/2014/42-43/html/smf_pano-synth_42-43.php | zbl = 06479627 | isbn = 978-2-85629-794-0 | 출판사=Société Mathématique de France | 총서=Panoramas et Synthèses | 권=42 | 언어=en}} |
||
* {{서적 인용 |
|||
| editor1-first = M. | editor1-last = Demazure |
|||
| editor2-first=A. | editor2-last=Grothendieck | editor2-link = 알렉산더 그로텐디크 |
|||
| title = Séminaire de géométrie algébrique du Bois Marie 1962–64. Schémas en groupes (SGA 3). Tome 1 |
|||
| 총서=Lecture Notes in Mathematics |권=151 | issn=0075-8434 |
|||
| year = 1970 |
|||
| publisher = Springer |
|||
|doi=10.1007/BFb0058993 |
|||
|isbn=978-3-540-05179-4 |
|||
| 언어=fr |
|||
}} |
|||
* {{서적 인용 |
|||
| editor1-first = M. | editor1-last = Demazure |
|||
| editor2-first=A. | editor2-last=Grothendieck | editor2-link = 알렉산더 그로텐디크 |
|||
| title = Séminaire de géométrie algébrique du Bois Marie 1962–64. Schémas en groupes (SGA 3). Tome 2 |
|||
| 총서=Lecture Notes in Mathematics |권=152 | issn=0075-8434 |
|||
| year = 1970 |
|||
| publisher = Springer |
|||
|doi=10.1007/BFb0059005 |
|||
|isbn=978-3-540-05180-0 |
|||
|언어=fr |
|||
}} |
|||
* {{서적 인용 |
|||
| editor1-first = Demazure |
|||
| editor1-last = Michel |
|||
| editor2-first=A. | editor2-last=Grothendieck | editor2-link = 알렉산더 그로텐디크 |
|||
| title = Séminaire de géométrie algébrique du Bois Marie 1962–64. Schémas en groupes (SGA 3). Tome 3 |
|||
|series=Lecture Notes in Mathematics |volume=153 | issn=0075-8434 |
|||
| year = 1970 |
|||
| publisher = Springer |
|||
|doi=10.1007/BFb0059027 |
|||
|isbn=978-3-540-05181-7 |
|||
|언어=fr |
|||
}} |
|||
== 바깥 고리 == |
== 바깥 고리 == |
2016년 4월 1일 (금) 10:51 판
대수기하학에서, 군 스킴(群scheme, 영어: group scheme, 프랑스어: schéma en groupe)은 군과 유사한 구조를 갖는 스킴이다. 즉, 대수군의 정의에서 대수다양체를 스킴으로 대체한 것이다.
정의
군 스킴은 스킴 범주의 군 대상으로, 또는 특정한 함자로 정의할 수 있다.
군 대상을 통한 정의
스킴 가 주어졌다고 하자. 위의 군 스킴은 스킴의 범주의 조각 범주 속의 군 대상이다. 즉, 군 스킴 은 다음과 같은 데이터로 구성된다.
- 는 -스킴이다.
- 는 -스킴 사상이다. 이는 군의 곱셈에 해당한다.
- 는 -스킴 사상이다. 이는 군의 항등원에 해당한다.
- 는 -스킴 사상이다. 이는 군의 역원에 해당한다.
이들은 군 대상의 공리를 나타내는 가환 그림들을 만족시켜야 한다.
함자를 통한 정의
스킴 위의 군 스킴은 다음 조건을 만족시키는 함자
이다.
- 는 표현 가능 함자이다. 즉, 가 되는 -스킴 가 존재한다.
여기서
는 군의 구체적 범주의 망각 함자이다.
이 두 정의는 서로 동치이다. 구체적으로, 속의 군 대상 가 주어졌을 때, 표현 가능 함자 는 둘쨰 정의에 부합한다.
예
곱셈 군 스킴
스킴 위의 군 스킴 은 스킴으로서 원점을 제거한 -아핀 직선 이다. 함자로서 이는 다음과 같다.
여기서 는 아벨 군 층의 단면군을 뜻하며, 는 구조층 의 가역원군층이다. 특히, 만약 가 아핀 스킴이라면,
이다.
보다 일반적으로, 스킴 위의 일반 선형 군 스킴(영어: general linear group scheme) 는 함자로서 다음과 같다.
여기서 는 행렬환을 뜻한다. 이 경우 이다.
덧셈 군 스킴
스킴 위의 군 스킴 는 스킴으로서 -아핀 직선 이다. 함자로서 이는 다음과 같다.
특히, 만약 가 아핀 스킴이라면, 이다.
1의 거듭제곱근 군 스킴
양의 정수 에 대하여, 1의 제곱근 군 스킴(영어: group scheme of th roots of unity) 은 제곱 사상 의 핵이다. 함자로서 이는 다음과 같다.
특히, 만약 가 아핀 스킴이라면, 이다.
상수 군 스킴
군 가 주어졌다고 하자. 스킴 위의 상수 군 스킴(영어: constant group scheme) 는 스킴으로서 분리합집합 이다 (즉, 위상 공간으로서 에 이산 위상을 준다면 이다). 그 위의 군 스킴의 구조는 의 군 구조로부터 유도된다. 함자로서, 는 스킴 를 군 직접곱 로 대응시킨다 (는 의 연결 성분의 집합).
대각화 가능 군 스킴
아벨 군 가 주어졌다고 하자. 스킴 위의 대각화 가능 스킴(영어: constant group scheme) 는 함자로서 다음과 같다.
참고 문헌
- Waterhouse, William C. (1979). 《Introduction to affine group schemes》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 66. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-6217-6. ISBN 978-0-387-90421-4. ISSN 0072-5285. MR 0547117.
- Gabriel, Peter; Demazure, Michel (1980). 《Introduction to algebraic geometry and algebraic groups》 (영어). Amsterdam: North-Holland. ISBN 0-444-85443-6.
- Conrad, Brian. 〈Reductive group schemes〉 (PDF). 《Autour des schémas en groupes. École d’été “Schémas en groupes”. Volume I》. Panoramas et Synthèses (영어) 42. Société Mathématique de France. ISBN 978-2-85629-794-0. Zbl 06479627.
- Demazure, M.; Grothendieck, A., 편집. (1970). 《Séminaire de géométrie algébrique du Bois Marie 1962–64. Schémas en groupes (SGA 3). Tome 1》. Lecture Notes in Mathematics (프랑스어) 151. Springer. doi:10.1007/BFb0058993. ISBN 978-3-540-05179-4. ISSN 0075-8434.
- Demazure, M.; Grothendieck, A., 편집. (1970). 《Séminaire de géométrie algébrique du Bois Marie 1962–64. Schémas en groupes (SGA 3). Tome 2》. Lecture Notes in Mathematics (프랑스어) 152. Springer. doi:10.1007/BFb0059005. ISBN 978-3-540-05180-0. ISSN 0075-8434.
- Michel, Demazure; Grothendieck, A., 편집. (1970). 《Séminaire de géométrie algébrique du Bois Marie 1962–64. Schémas en groupes (SGA 3). Tome 3》. Lecture Notes in Mathematics (프랑스어) 153. Springer. doi:10.1007/BFb0059027. ISBN 978-3-540-05181-7. ISSN 0075-8434.
바깥 고리
- “Group scheme”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- “Group scheme”. 《nLab》 (영어).
- “Diagonalizable group scheme”. 《nLab》 (영어).
- “Unipotent group scheme”. 《nLab》 (영어).
- “Multiplicative group scheme”. 《nLab》 (영어).