클리퍼드 대수

수학에서, 클리퍼드 대수(Clifford代數, 영어: Clifford algebra)는 결합 대수의 한 종류이다. 이것은 복소수나 사원수의 추상화 중 하나로 볼 수가 있으며 직교변형과 이차 형식들을 연결한 수학적 이론이다. 이것은 기하학적 문제와 이론물리학에 응용된다.

정의

$K$가 체이고, $V$가 $K$에 대한 벡터 공간이라고 하고, $Q\colon V\to K$가 이차 형식이라고 하자. 그렇다면 클리퍼드 대수 $\operatorname {Cl} (V,Q)$는 다음 공리를 만족시키는, $V$를 포함하는 가장 일반적인 일반적인 단위원을 갖춘 $K$에 대한 결합 대수다.

$v^{2}=Q(v)\forall v\in V$

즉, 범주론적으로 클리퍼드 대수는 다음과 같은 보편 성질을 만족시킨다. $K$ 위의 단위 결합 대수들의 범주 $\operatorname {uAssocAlg} _{K}$에서, $j(v)^{2}=Q(v)1_{A}\forall v\in V$를 만족시키는 임의의 대수 $(A,j\colon V\to A)$가 주어지면, 다음 그림을 가환시키는 유일한 대수 준동형 $f\colon \operatorname {Cl} (V,Q)\to A$가 존재한다.

${\begin{matrix}V&{\overset {i}{\to }}&\operatorname {Cl} (V,Q)\\&{\scriptstyle j}\searrow &\downarrow \scriptstyle \exists !f\\&&A\end{matrix}}$

여기서 $i\colon V\to \operatorname {Cl} (V,Q)$는 보통 생략한다.

클리퍼드 대수는 구체적으로 다음과 같다.

$\operatorname {Cl} (V,Q)=T(V)/\langle v\otimes v-Q(v)\rangle$

여기서 $T(V)$는 $V$에 대한 텐서 대수

$T(V)=\bigoplus _{n=0}^{\infty }V^{\otimes n}$

이고, $\langle v\otimes v-Q(v)\rangle$는 $v\otimes v-Q(v)\in T(V)$에 의하여 생성되는 아이디얼이다.

성질

$V$가 유한 차원 벡터 공간이고, 그 차원이 $n$이라고 하자. 클리퍼드 대수 $\operatorname {Cl} (V,Q)$는 $2^{n}$차원 벡터 공간이다. $\{e_{i}\}_{i=1,\dots ,n}$이 $V$의 기저라고 하자. 그렇다면 $\operatorname {Cl} (V,Q)$의 기저는 다음과 같이 주어진다.

$\{e_{i_{1}}e_{i_{2}}\dotsb e_{i_{k}}|1\leq i_{1}<i_{2}<\dotsb <i_{k}\leq n\}$ 이에 따라, 클리퍼드 대수는 $\mathbb {Z} /2$ 등급 대수를 이룬다. 즉, $k$가 짝수인 경우는 등급이 +1, 홀수인 경우는 등급이 −1이다.

클리퍼드 대수는 다음과 같은 등급 교환 법칙을 따른다. 임의의 $a,b\in \operatorname {Cl} (V,Q)$에 대하여,

$ab=(-)^{\deg a\deg b}ba$

여기서 $\deg a\in \mathbb {Z} /2$는 클리퍼드 대수의 원소의 등급이다.

만약 $K=\mathbb {F} _{2}$인 경우, 클리퍼트 대수는 외대수 $\Lambda (V)$와 동형이다.

분류

복소 클리퍼드 대수

$(V,Q)$가 비퇴화 이차 형식이 주어진 유한 차원 복소수 벡터 공간이라고 하자. 복소수의 경우, 부호수의 개념이 존재하지 않고, 오직 $n=\dim _{\mathbb {C} }V$만 고려하면 된다. 이에 대한 클리퍼드 대수를 $\operatorname {Cl} _{n}(\mathbb {C} )$로 쓰자. 낮은 차원의 복소 클리퍼드 대수들은 다음과 같다.

$\operatorname {Cl} _{0}(\mathbb {C} )\cong \mathbb {C}$

$\operatorname {Cl} _{1}(\mathbb {C} )\cong \mathbb {C} \oplus \mathbb {C}$ (테사린, tessarine)

$\operatorname {Cl} _{2}(\mathbb {C} )\cong \operatorname {Mat} _{2}(\mathbb {C} )$ (2×2 복소 행렬)

또한, 다음과 같은 보트 주기성이 존재한다.

$\operatorname {Cl} _{n+2}(\mathbb {C} )\cong \operatorname {Mat} _{2}(\mathbb {C} )\otimes _{\mathbb {C} }\operatorname {Cl} _{n}(\mathbb {C} )$

따라서 모든 복소 클리퍼드 대수를 분류할 수 있다.

실수 클리퍼드 대수

$V$가 유한 차원 실수 벡터 공간이고, $Q$가 부호수가 $(p,q)$인 비퇴화 이차 형식이라고 하자. 이 경우, 이에 대한 클리퍼드 대수를 $\operatorname {Cl} _{p,q}(\mathbb {R} )$로 쓰자. 낮은 차원의 실수 클리퍼드 대수들은 다음과 같다.

$\operatorname {Cl} _{0,0}(\mathbb {R} )\cong \mathbb {R}$ (실수)

$\operatorname {Cl} _{0,1}(\mathbb {R} )\cong \mathbb {C}$ (복소수)

$\operatorname {Cl} _{1,0}(\mathbb {R} )\cong \mathbb {R} ^{1,1}$ (분할복소수)

$\operatorname {Cl} _{0,2}(\mathbb {R} )\cong \mathbb {H}$ (사원수)

$\operatorname {Cl} _{2,0}(\mathbb {R} )\cong \operatorname {Cl} _{1,1}\cong \operatorname {Mat} _{2}(\mathbb {R} )$ (2×2 실수 행렬)

또한, 다음이 성립한다.

$\operatorname {Cl} _{p+2,q}(\mathbb {R} )\cong \operatorname {Mat} _{2}(\mathbb {R} )\otimes \operatorname {Cl} _{q,p}(\mathbb {R} )$

$\operatorname {Cl} _{p+1,q+1}(\mathbb {R} )\cong \operatorname {Mat} _{2}(\mathbb {R} )\otimes \operatorname {Cl} _{p,q}(\mathbb {R} )$

$\operatorname {Cl} _{p,q+2}(\mathbb {R} )\cong \mathbb {H} \otimes \operatorname {Cl} _{q,p}(\mathbb {R} )$

이에 따라, 모든 유한 차원 및 부호수에서의 실수 클리퍼드 대수를 분류할 수 있다.

역사

영국의 기하학자 윌리엄 킹던 클리퍼드가 도입하였다.

참고 문헌

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같이 보기

• 기하적 대수학
• 파울리 행렬
• 디랙 행렬
• 스피너