브라우어르 고정점 정리: 두 판 사이의 차이
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[[위상수학]]에서 '''브라우어르 부동점 정리'''(Brouwer 不動點定理, {{llang|en|Brouwer fixed-point theorem}})는 [[라위트전 브라우어르]]의 이름이 붙은 [[부동점 정리]]이다. |
[[위상수학]]에서 '''브라우어르 부동점 정리'''(Brouwer 不動點定理, {{llang|en|Brouwer fixed-point theorem}})는 [[라위트전 브라우어르]]의 이름이 붙은 [[부동점 정리]]이다. 이 정리에 의하면, [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[볼록 집합|볼록]] 집합의 [[자기 사상]]인 [[연속함수]] ''f''는 [[부동점]]을 가진다, 즉 ''f''(''x''<sub>0</sub>)=''x''<sub>0</sub>인 ''x''<sub>0</sub>이 존재한다. 가장 간단한 형식은 [[폐구간]] ''I'', 또는 닫힌 [[원판]] ''D''에서 자기 자신으로 가는 연속함수 ''f''에 대한 것이다. 이보다 조금 더 일반화 된 것이 [[유클리드 공간]]의 콤팩트 볼록 [[부분집합]] ''K''에서 자신으로 가는 연속함수 ''f''에 대한 정리이다. |
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수백개가 넘는 부동점 정리들 중 <ref>E.g. F & V Bayart ''[http://www.bibmath.net/dico/index.php3?action=affiche&quoi=./p/pointfixe.html Théorèmes du point fixe]'' {{언어고리|fr}}</ref> 브라우어르 부동점정리는 특별히 잘 알려져 있다. 수학의 많은 영역에서 두루 사용되고 있는 것이 한 이유다. 원래의 영역인 [[대수적 위상수학]]에서 이 정리는 [[조르당 곡선 정리]], [[털난 공 정리]], 그리고 [[보르수크-울람 정리]]와 함께 유클리드 공간의 위상을 기술하는 핵심 정리이다.<ref>D. Leborgne ''Calcul différentiel et géométrie'' {{llang|fr}} Puf (1982) ISBN 2-13-037495-6, 15 쪽</ref> 이로써 위상수학의 기본 정리 중 하나로 간주된다.<ref>더 정확히, Encyclopédie Universalis에 의하면 ''Il en a démontré l'un des plus beaux théorèmes, le théorème du point fixe, dont les applications et généralisations, de la théorie des jeux aux équations différentielles, se sont révélées fondamentales.'' [http://www.universalis.fr/encyclopedie/T705705/BROUWER_L.htm Luizen Brouwer] {{언어고리|fr}} G. Sabbagh</ref> 이 정리는 [[미분방정식]]에 관한 더 심도있는 결론을 증명하는데에도 쓰이며 대부분의 [[미분기하학]] 입문 수업에서 다루어진다. [[게임 이론]] 같은 곳에서도 나타난다. 경제학에서, 브라우어르 부동점정리와 그의 확장인 [[카쿠타니 부동점정리]]는 시장경제의 [[일반균형]]의 존재 증명에 결정적인 역할을 했다. |
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이 정리는 [[앙리 푸앵카레|푸앵카레]]와 [[에밀 피카르|피카르]]가 미분방정식에 관한 작업을 위해 처음 연구하였다. 일반화된 결론은 1910년 [[자크 아다마르]]<ref name="hadamard-1910"> |
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Jacques Hadamard ''[http://archive.org/stream/introductionla02tannuoft#page/436/mode/2up Note sur quelques applications de l’indice de Kronecker]'' in Jules Tannery ''Introduction à la théorie des fonctions d’une variable'' {{언어고리|fr}} (Volume 2), 2nd edition, A. Hermann & Fils, Paris 1910, pp. 437–477</ref> |
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와 [[라위트전 브라우어르]]<ref name="brouwer-1910">L. E. J. Brouwer ''[http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002264021 Über Abbildungen von Mannigfaltigkeiten]'' {{언어고리|de}} Mathematische Annalen 71, pp. 97–115, {{doi|10.1007/BF01456931}} (published 25 July 1911, written July 1910)</ref> |
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;평면:[[닫힌 집합|폐]][[원판]]에서 자기 자신으로 가는 모든 [[연속함수]]는 최소 하나의 부동점을 가진다.<ref>D. Violette ''[http://newton.mat.ulaval.ca/amq/bulletins/dec06/sperner.pdf Applications du lemme de Sperner pour les triangles]'' {{언어고리|fr}} Bulletin AMQ, V. XLVI N° 4, (2006) p 17.</ref> |
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;유클리드 공간:[[유클리드 공간]]의 [[닫힌 공]]에서 자기 자신으로 가는 모든 연속함수는 부동점을 가진다.<ref>D. Leborgne ''Calcul différentiel et géométrie'' {{언어고리|fr}} Puf (1982) ISBN 2-13-037495-6. 15 쪽</ref> |
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;콤팩트 볼록 집합:유클리드 공간의 [[콤팩트]] [[볼록]] 부분집합에서 자기 자신으로 가는 모든 연속함수는 부동점을 가진다.<ref>V. & F. Bayart ''[http://www.bibmath.net/dico/index.php3?action=affiche&quoi=./p/pointfixe.html Point fixe, et théorèmes du point fixe ]'' {{언어고리|fr}},Bibmath.net</ref> |
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다른 이름을 가진 더욱 일반적인 정리도 있다. |
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;[[샤우더 부동점정리]]:[[바나흐 공간]]의 콤팩트 볼록 부분집합에서 자기 자신으로 가는 모든 연속함수는 부동점을 가진다.<ref>C. Minazzo K. Rider ''[http://math1.unice.fr/~eaubry/Enseignement/M1/memoire.pdf Théorèmes du Point Fixe et Applications aux Equations Différentielles]'' {{언어고리|fr}} Université de Nice-Sophia Antipolis.</ref> |
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2015년 7월 31일 (금) 21:34 판
위상수학에서 브라우어르 부동점 정리(Brouwer 不動點定理, 영어: Brouwer fixed-point theorem)는 라위트전 브라우어르의 이름이 붙은 부동점 정리이다. 이 정리에 의하면, 콤팩트 볼록 집합의 자기 사상인 연속함수 f는 부동점을 가진다, 즉 f(x0)=x0인 x0이 존재한다. 가장 간단한 형식은 폐구간 I, 또는 닫힌 원판 D에서 자기 자신으로 가는 연속함수 f에 대한 것이다. 이보다 조금 더 일반화 된 것이 유클리드 공간의 콤팩트 볼록 부분집합 K에서 자신으로 가는 연속함수 f에 대한 정리이다.
수백개가 넘는 부동점 정리들 중 [1] 브라우어르 부동점정리는 특별히 잘 알려져 있다. 수학의 많은 영역에서 두루 사용되고 있는 것이 한 이유다. 원래의 영역인 대수적 위상수학에서 이 정리는 조르당 곡선 정리, 털난 공 정리, 그리고 보르수크-울람 정리와 함께 유클리드 공간의 위상을 기술하는 핵심 정리이다.[2] 이로써 위상수학의 기본 정리 중 하나로 간주된다.[3] 이 정리는 미분방정식에 관한 더 심도있는 결론을 증명하는데에도 쓰이며 대부분의 미분기하학 입문 수업에서 다루어진다. 게임 이론 같은 곳에서도 나타난다. 경제학에서, 브라우어르 부동점정리와 그의 확장인 카쿠타니 부동점정리는 시장경제의 일반균형의 존재 증명에 결정적인 역할을 했다.
이 정리는 푸앵카레와 피카르가 미분방정식에 관한 작업을 위해 처음 연구하였다. 일반화된 결론은 1910년 자크 아다마르[4] 와 라위트전 브라우어르[5] 에 의해 처음 증명되었다.
내용
이 정리는 문맥과 일반화 정도에 따라 다른 방식의 내용 서술을 가진다. 다음은 이들을 일반화 정도가 점차 높아지는 순서대로 나열한 것이다.
다른 이름을 가진 더욱 일반적인 정리도 있다.
같이 보기
각주
- ↑ E.g. F & V Bayart Théorèmes du point fixe (프랑스어)
- ↑ D. Leborgne Calcul différentiel et géométrie 프랑스어: {{{2}}} Puf (1982) ISBN 2-13-037495-6, 15 쪽
- ↑ 더 정확히, Encyclopédie Universalis에 의하면 Il en a démontré l'un des plus beaux théorèmes, le théorème du point fixe, dont les applications et généralisations, de la théorie des jeux aux équations différentielles, se sont révélées fondamentales. Luizen Brouwer (프랑스어) G. Sabbagh
- ↑ Jacques Hadamard Note sur quelques applications de l’indice de Kronecker in Jules Tannery Introduction à la théorie des fonctions d’une variable (프랑스어) (Volume 2), 2nd edition, A. Hermann & Fils, Paris 1910, pp. 437–477
- ↑ L. E. J. Brouwer Über Abbildungen von Mannigfaltigkeiten (독일어) Mathematische Annalen 71, pp. 97–115, doi 10.1007/BF01456931 (published 25 July 1911, written July 1910)
- ↑ D. Violette Applications du lemme de Sperner pour les triangles (프랑스어) Bulletin AMQ, V. XLVI N° 4, (2006) p 17.
- ↑ D. Leborgne Calcul différentiel et géométrie (프랑스어) Puf (1982) ISBN 2-13-037495-6. 15 쪽
- ↑ V. & F. Bayart Point fixe, et théorèmes du point fixe (프랑스어),Bibmath.net
- ↑ C. Minazzo K. Rider Théorèmes du Point Fixe et Applications aux Equations Différentielles (프랑스어) Université de Nice-Sophia Antipolis.