렙셰츠 고정점정리

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렙셰츠 고정점정리(Лефшец固定點定理, 영어: Lefschetz fixed-point theorem)는 콤팩트 위상공간 위의, 자기자신으로 가는 연속사상의 고정점의 존재에 대한 정리다. 솔로몬 렙셰츠가 증명하였다.

정의[편집]

X콤팩트 삼각화가능(triangulable) 위상공간이라고 하고, 연속함수 f\colon X\to X를 생각하자. 그렇다면 이에 의하여 호몰로지에 대한 사상이 유도된다.

f_*\colon H^n(X)\to H^n(X)

특히, 유리수 (또는 다른 표수 0의 체)에 대한 계수를 잡으면 이는 벡터공간이 되므로, 이는 단순히 H^n(X;\mathbb Q) 위의 선형변환이며, 그 대각합

\operatorname{tr}\left(f_*|H^n(X;\mathbb Q)\right)

을 정의할 수 있다. 그렇다면 연속함수 f렙셰츠 수(영어: Lefshetz number) \operatorname{Lef}f는 다음과 같다.

\operatorname{Lef}f=\sum_{n=0}^\infty\operatorname{tr}\left(f_*|H^n(X;\mathbb Q)\right)

렙셰츠 고정점정리에 따르면, 렙셰츠 수가 0이 아닌 함수 f는 적어도 하나의 고정점을 가진다. 즉, f(x)=xx\in X가 존재한다.

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만약 f항등함수라면 그 렙셰츠 수는 X오일러 지표이다.

\operatorname{Lef}f=\chi(X)

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