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인라인

2013년 6월 22일 (토) 23:58 판

수학과 물리학에서, 적분가능계(積分可能系, 영어: integrable system) 또는 가적계(可積系) 또는 가적분계(可積分系)는 대략 무한한 수의 운동 상수들이 존재하여, 완전히 풀 수 있는 계를 뜻한다. 여러 가지 정의가 있으나, 고전역학적 계의 경우 보통 리우빌 적분가능성(영어: Liouville integrability)을 의미한다.

리우빌 적분가능성

리우빌 적분가능성은 해밀턴 계가 가질 수 있는 한 성질이다. $(M,\omega ,H)$ 가 해밀턴 계라고 하고, $M$ 이 유한 차원이라고 하자. 만약 이 계가 ( $H$ 자체를 포함한) $(\dim M)/2$ 개의 선형독립 운동 상수 $F_{i}$ 를 가진다면, 이 계를 리우빌 적분가능(Liouville積分可能, 영어: Liouville integrable)이라고 한다. 만약 이 계가 $(\dim M)/2$ 개를 초과하는 선형독립 운동 상수들을 가진다면, 이 계를 초적분가능(超積分可能, 영어: superintegrable)이라고 한다.

만약 이 계가 $(\dim M)-1$ 개의 선형독립 운동 상수들을 가진다면, 이 계를 최대 초적분가능(最大超積分可能, 영어: maximally superintegrable)이라고 한다. 정적이지 않은 계는 $\dim M$ 개 이상의 선형독립 운동 상수들을 가질 수 없는데, 이는 초기 조건이 $\dim M$ 개 있고, 초기 시간은 운동 상수에 의하여 결정되지 않기 때문이다.

적분가능계의 예

다음과 같은 예들이 있다.

고전역학계
- $n$ 차원 조화 진동자. 3차원 조화 진동자는 사실 최대 초적분가능계인데, 이는 에너지와 각운동량 이외에도 프래드킨 텐서(영어: Fradkin tensor)^[1]라는 운동 상수가 존재하기 때문이다.
- 케플러 문제(영어: Kepler problem, 역제곱힘 이체 문제). 이는 사실 최대 초적분가능계이다. 이는 (이체 문제를 일체 문제로 변형시키면) 6차원 위상 공간에 정의돼 있지만, 그 운동 상수는 총 5개이기 때문이다. (이들은 에너지 $E$ , 각운동량 $\mathbf {L}$ , 라플라스-룽게-렌츠 벡터 $\mathbf {A}$ 이며, 이들 사이에는 $\mathbf {A} \cdot \mathbf {L} =0$ , $A^{2}=m^{2}k^{2}+2mEL$ 두 개의 관계가 존재한다.)
- 칼로제로-모저(Calogero–Moser) 모형^[2]^[3], 칼로제로-서덜런드(Calogero–Sutherland) 모형^[4]
- 강체의 경우에는 라그랑주 팽이, 오일러 팽이, 코발렙스카야 팽이(Kovalevskaya Top)^[5] 세 개의 적분가능모형이 존재한다.
2차원 장론
- 코르테버흐-더프리스 방정식
- 사인-고든 방정식(sine-Gordon equation)^[6]^[7]
- 도다 장론(Toda field theory)^[8]
- 비선형 슈뢰딩거 방정식(nonlinear Schrödinger equation)
- 티링 모형(영어: Thirring model, 2차원 디랙 페르미온 + 4페르미온 상호작용)
- 무질량 슈윙거 모형(2차원 양자 전기역학 + 디랙 페르미온)
- 스핀 체인(spin chain)
  - XXX 모형 (하이젠베르크 모형)^[9]^[10]
  - XXZ 모형 (하이젠베르크-이징 모형)
  - XYZ 모형
  - 임계 이징 모형
  - 3개 상태 포츠 모형(Potts model)
- 2차원 등각 장론
  - 베스-추미노-위튼 모형
  - 리우빌 장론(Liouville field theory)^[11]^[12]
  - (초)등각 최소 모형(minimal model)

참고 문헌

↑ Fradkin, D. M. (1965년 3월). “Three-dimensional isotropic harmonic oscillator and SU₃”. 《American Journal of Physics》 33 (3): 207–211. Bibcode:1965AmJPh..33..207F. doi:10.1119/1.1971373. ISSN 0002-9505.
↑ Etingof, Pavel. “Lectures on Calogero–Moser systems”. arXiv:math/0606233.
↑ Calogero, Francesco (2008). “Calogero–Moser system”. 《Scholarpedia》 3 (8): 7216. doi:10.4249/scholarpedia.7216.
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↑ “Kovalevskaya top — an elementary approach”. arXiv:math-ph/0111025. doi:10.1023/A:1015416529917. ISSN 0040-5779.
↑ “Theory and applications of the sine-Gordon equation”. doi:10.1007/BF02820622.
↑ 안창림 (2006). 《양자 사인-고든 모형》. 서울: 이화여자대학교출판부. ISBN 9788973006687.
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↑ “A spin chain primer”. arXiv:hep-th/9810032. Bibcode:1999IJMPB..13.2973N. doi:10.1142/S0217979299002800.
↑ Maillet, Jean-Michel. 〈Heisenberg spin chains: from quantum groups to neutron scattering experiments〉. 《Quantum Spaces: Poincaré Seminar 2007》. Basel: Birkhäuser. doi:10.1007/978-3-7643-8522-4_4. ISBN 978-3-7643-8521-7.
↑ . arXiv:hep-th/0402009. |제목=이(가) 없거나 비었음 (도움말)
↑ . arXiv:hep-th/0104158. |제목=이(가) 없거나 비었음 (도움말)

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Kundu, Anjan (1997). “Quantum integrable systems: basic concepts and brief overview”. arXiv:hep-th/9708114. Bibcode:1997hep.th....8114K.
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Beisert, Niklas; Changrim Ahn, Luis F. Alday, Zoltán Bajnok, James M. Drummond, Lisa Freyhult, Nikolay Gromov, Romuald A. Janik, Vladimir Kazakov, Thomas Klose, Gregory P. Korchemsky, Charlotte Kristjansen, Marc Magro, Tristan McLoughlin, Joseph A. Minahan, Rafael I. Nepomechie, Adam Rej, Radu Roiban, Sakura Schäfer-Nameki, Christoph Sieg, Matthias Staudacher, Alessandro Torrielli, Arkady A. Tseytlin, Pedro Vieira, Dmytro Volin, Konstantinos Zoubos (2012년 1월). “Review of AdS/CFT integrability: an overview”. 《Letters in Mathematical Physics》 99 (1–3): 3–32. arXiv:1012.3982. Bibcode:2012LMaPh..99....3B. doi:10.1007/s11005-011-0529-2. ISSN 0377-9017.

같이 보기

양-백스터 방정식(Yang–Baxter equation)
히친 계
럭스 쌍(Lax pair, 헝가리어: Lax Péter Dávid)
솔리톤

[1] Fradkin, D. M. (1965년 3월). “Three-dimensional isotropic harmonic oscillator and SU₃”. 《American Journal of Physics》 33 (3): 207–211. Bibcode:1965AmJPh..33..207F. doi:10.1119/1.1971373. ISSN 0002-9505.

[2] Etingof, Pavel. “Lectures on Calogero–Moser systems”. arXiv:math/0606233.

[3] Calogero, Francesco (2008). “Calogero–Moser system”. 《Scholarpedia》 3 (8): 7216. doi:10.4249/scholarpedia.7216.

[4] “A lecture on the Calogero–Sutherland models”. arXiv:hep-th/9405104.

[5] “Kovalevskaya top — an elementary approach”. arXiv:math-ph/0111025. doi:10.1023/A:1015416529917. ISSN 0040-5779.

[6] “Theory and applications of the sine-Gordon equation”. doi:10.1007/BF02820622.

[7] 안창림 (2006). 《양자 사인-고든 모형》. 서울: 이화여자대학교출판부. ISBN 9788973006687.

[8] “Recent developments in affine Toda field theory”. arXiv:hep-th/9412213. Bibcode:1994hep.th...12213C.

[9] “A spin chain primer”. arXiv:hep-th/9810032. Bibcode:1999IJMPB..13.2973N. doi:10.1142/S0217979299002800.

[10] Maillet, Jean-Michel. 〈Heisenberg spin chains: from quantum groups to neutron scattering experiments〉. 《Quantum Spaces: Poincaré Seminar 2007》. Basel: Birkhäuser. doi:10.1007/978-3-7643-8522-4_4. ISBN 978-3-7643-8521-7.

[11] . arXiv:hep-th/0402009. |제목=이(가) 없거나 비었음 (도움말)

[12] . arXiv:hep-th/0104158. |제목=이(가) 없거나 비었음 (도움말)

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 다음과 같은 예들이 있다.
 * 고전역학계
-** <math>n</math>차원 [[조화 진동자]]. 3차원 조화 진동자는 사실 최대 초적분가능계인데, 이는 [[에너지]]와 [[각운동량]] 이외에도 '''프래드킨 텐서'''({{llang|en|Fradkin tensor}})<ref>{{저널 인용|doi=10.1119/1.1971373|저널=American Journal of Physics|날짜=1965-03|권=33|호=3|쪽=207–211|제목=Three-dimensional isotropic harmonic oscillator and SU<sub>3</sub>|이름=D. M.|성=Fradkin|issn=0002-9505|bibcode=1965AmJPh..33..207F}}</ref>라는 [[운동 상수]]가 존재하기 때문이다.
+** <math>n</math>차원 [[조화 진동자]]. 3차원 조화 진동자는 사실 최대 초적분가능계인데, 이는 [[에너지]]와 [[각운동량]] 이외에도 '''프래드킨 텐서'''({{llang|en|Fradkin tensor}})<ref>{{저널 인용|doi=10.1119/1.1971373|저널=American Journal of Physics|날짜=1965-03|권=33|호=3|쪽=207–211|제목=Three-dimensional isotropic harmonic oscillator and SU<sub>3</sub>|이름=D. M.|성=Fradkin|issn=0002-9505|bibcode=1965AmJPh..33..207F|언어고리=en}}</ref>라는 [[운동 상수]]가 존재하기 때문이다.
 ** 케플러 문제({{llang|en|Kepler problem}}, 역제곱힘 [[이체 문제]]). 이는 사실 최대 초적분가능계이다. 이는 (이체 문제를 일체 문제로 변형시키면) 6차원 [[위상 공간 (물리학)|위상 공간]]에 정의돼 있지만, 그 [[운동 상수]]는 총 5개이기 때문이다. (이들은 [[에너지]] <math>E</math>, [[각운동량]] <math>\mathbf L</math>, [[라플라스-룽게-렌츠 벡터]] <math>\mathbf A</math>이며, 이들 사이에는 <math>\mathbf A\cdot\mathbf L=0</math>, <math>A^2=m^2k^2+2mEL</math> 두 개의 관계가 존재한다.)
 ** 칼로제로-모저(Calogero–Moser) 모형<ref>{{저널 인용|arxiv=math/0606233|제목=Lectures on Calogero–Moser systems|성=Etingof|이름=Pavel}}</ref><ref>{{저널 인용|제목=Calogero–Moser system|저널=Scholarpedia|권=3|호=8|쪽=7216|날짜=2008|이름=Francesco|성=Calogero|doi=10.4249/scholarpedia.7216}}</ref>, 칼로제로-서덜런드(Calogero–Sutherland) 모형<ref>{{저널 인용|arxiv=hep-th/9405104|제목=A lecture on the Calogero–Sutherland models}}</ref>
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 ** 무질량 슈윙거 모형(2차원 [[양자 전기역학]] + 디랙 페르미온)
 ** 스핀 체인(spin chain)
+*** XXX 모형 ([[하이젠베르크 모형]])<ref>{{저널 인용|arxiv=hep-th/9810032|제목=A spin chain primer|bibcode=1999IJMPB..13.2973N|doi=10.1142/S0217979299002800|언어고리=en}}</ref><ref>{{책 인용|장=Heisenberg spin chains: from quantum groups to neutron scattering experiments|이름=Jean-Michel|성=Maillet|doi=10.1007/978-3-7643-8522-4_4|isbn=978-3-7643-8521-7|제목=Quantum Spaces: Poincaré Seminar 2007|출판사=Birkhäuser|위치=[[바젤|Basel]]|언어고리=en|장고리=http://www.bourbaphy.fr/maillet.pdf}}</ref>
-*** XXX 모형 ([[하이젠베르크 모형]])
 *** XXZ 모형 (하이젠베르크-이징 모형)
 *** XYZ 모형