사인-고든 방정식

위키백과, 우리 모두의 백과사전.
이동: 둘러보기, 검색

물리학에서, 사인-고든 방정식(영어: sine–Gordon equation)은 비선형 쌍곡 편미분 방정식의 일종이다. 솔리톤 해를 가지고, 적분가능계의 중요한 예이다.

역사와 어원[편집]

1862년에 에드몽 부르(프랑스어: Edmond Bour)가 최초로 연구하였다.[1] 1939년에 야코프 프렌켈(러시아어: Яков Ильич Френкель)과 콘토로바(러시아어: Т. М. Конторова)가 재발견하였다.[2]

"사인-고든"이라는 이름의 어원은 클라인-고든 방정식에 대한 말장난이다. 클라인-고든 방정식에서 질량항을 사인 함수 모양의 퍼텐셜로 대체하면 사인-고든 방정식을 얻으므로, "클라인"을 각운이 같은 "사인"으로 대체한 것이다.

정의[편집]

2차원 시공간 (t,x)\in\mathbb R^2에서, 사인-고든 방정식은 다음과 같다.

\phi_{tt}-\phi_{xx}+\sin\varphi=0

이는 다음과 같은 라그랑지언 밀도로부터 유도할 수 있다.

\mathcal L=(\phi_t)^2-(\phi_x)^2-(1+\cos\phi)

즉, 퍼텐셜이

V(\phi)=1+\cos\phi

인 스칼라 장론이다.

솔리톤 해[편집]

사인-고든 방정식은 다음과 같은 솔리톤 해를 갖는다.

\phi(t,x)=4\arctan\exp\left(\frac{x-x_0-vt}{\sqrt{1-v^2}}\right)

이는 속도 v로 움직이고, 초기 위치가 x_0인 솔리톤을 나타낸다.

양자화[편집]

사인-고든 모형은 양자화할 수 있다.[3] 양자화하면 플랑크 상수에 해당하는 매개변수가 하나 더 추가되며, 이에 따라서 입자 스펙트럼이 달라진다. 이 모형의 산란 행렬은 해석적으로 계산 가능하며, 이는 티링 모형S-이중성을 통해 동형이다.[4]

참고 문헌[편집]

  1. (프랑스어) Bour, Edmond (1862년). Théorie de la déformation des surfaces. 《Journal de l’École impériale polytechnique》 39: 1–48.
  2. (러시아어) Френкель, Я. И., Т. М. Конторова (1939년). К теории пластической деформации и двойникования. 《Физический журнал》 1: 137–149.
  3. (영어) Faddeev, L. D., V. E. Korepin (1978년). Quantum theory of solitons. 《Physics Reports》 42 (1): 1–87. doi:10.1016/0370-1573(78)90058-3. Bibcode1978PhR....42....1F.
  4. (영어) Coleman, Sidney (1975년). Quantum sine–Gordon equation as the massive Thirring model. 《Physical Review D》 11 (8): 2088–2097. doi:10.1103/PhysRevD.11.2088. Bibcode1975PhRvD..11.2088C.

바깥 고리[편집]