아핀 기하학 에서 부분 아핀 공간 (部分affine 空間, 영어 : affine subspace )은 새로운 아핀 공간 을 이루는 주어진 아핀 공간의 부분 집합 이다. 즉, 이는 부분 벡터 공간 이 주어진 아핀 공간 위에 평행 이동 으로 작용 하는 데 대한 궤도 이며, 벡터 공간 의 부분 아핀 공간은 평행 이동에 대한 부분 벡터 공간의 상 이다.
체
K
{\displaystyle K}
위의 아핀 공간
A
{\displaystyle A}
의 부분 집합
B
⊆
A
{\displaystyle B\subseteq A}
에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는
B
{\displaystyle B}
를
A
{\displaystyle A}
의 부분 아핀 공간 이라고 한다.
B
−
a
{\displaystyle B-a}
가
V
(
A
)
{\displaystyle V(A)}
의 부분 벡터 공간 이 되는
a
∈
B
{\displaystyle a\in B}
가 존재한다. (여기서
B
−
a
=
{
b
−
a
:
b
∈
B
}
{\displaystyle B-a=\{b-a\colon b\in B\}}
이며,
V
(
−
)
{\displaystyle V(-)}
는 평행 이동 의 벡터 공간 이다.)
임의의
a
∈
B
{\displaystyle a\in B}
에 대하여,
B
−
a
{\displaystyle B-a}
는
V
(
A
)
{\displaystyle V(A)}
의 부분 벡터 공간이다.
부분 아핀 공간
B
⊆
A
{\displaystyle B\subseteq A}
에 대하여,
V
(
B
)
=
B
−
a
{\displaystyle V(B)=B-a}
는
a
∈
B
{\displaystyle a\in B}
의 선택과 무관하며, 이는
B
{\displaystyle B}
의 평행 이동들로 구성된다. 또한, 임의의
a
∈
B
{\displaystyle a\in B}
에 대하여,
B
=
a
+
V
(
B
)
{\displaystyle B=a+V(B)}
이다.
체
K
{\displaystyle K}
위의 아핀 공간
A
{\displaystyle A}
의 부분 집합
∅
≠
S
⊆
A
{\displaystyle \varnothing \neq S\subseteq A}
가 공집합 이 아니라고 하자.
S
{\displaystyle S}
로 생성된 부분 아핀 공간 (영어 : affine subspace spanned by
S
{\displaystyle S}
)
A
f
f
S
p
a
n
K
(
S
)
{\displaystyle \operatorname {Aff\,Span} _{K}(S)}
는
S
{\displaystyle S}
를 포함하는
A
{\displaystyle A}
의 가장 작은 부분 아핀 공간이다. 이는
S
{\displaystyle S}
를 포함하는
A
{\displaystyle A}
의 모든 부분 아핀 공간의 교집합 과 같다. 또한, 임의의
s
∈
S
{\displaystyle s\in S}
에 대하여,
A
f
f
S
p
a
n
K
(
S
)
=
s
+
Span
K
(
S
−
s
)
{\displaystyle \operatorname {Aff\,Span} _{K}(S)=s+\operatorname {Span} _{K}(S-s)}
이다. 여기서
Span
K
(
−
)
{\displaystyle \operatorname {Span} _{K}(-)}
는 주어진 부분 집합으로 생성된 부분 벡터 공간이다.
체
K
{\displaystyle K}
위의 아핀 공간
A
{\displaystyle A}
의 두 부분 아핀 공간
B
,
C
⊆
A
{\displaystyle B,C\subseteq A}
에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는
B
,
C
{\displaystyle B,C}
를 평행 한다고 하고, 이를
B
∥
C
{\displaystyle B\parallel C}
로 표기한다.
V
(
B
)
=
V
(
C
)
{\displaystyle V(B)=V(C)}
C
=
B
+
u
{\displaystyle C=B+u}
인
u
∈
V
(
A
)
{\displaystyle u\in V(A)}
가 존재한다.
체
K
{\displaystyle K}
위의 아핀 공간
A
{\displaystyle A}
의 두 부분 아핀 공간
B
,
C
⊆
A
{\displaystyle B,C\subseteq A}
에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는
B
{\displaystyle B}
를
C
{\displaystyle C}
에 약하게 평행 (영어 : weakly parallel )한다고 한다.
V
(
B
)
⊆
V
(
C
)
{\displaystyle V(B)\subseteq V(C)}
B
∥
B
′
{\displaystyle B\parallel B'}
인 부분 아핀 공간
B
′
⊆
C
{\displaystyle B'\subseteq C}
가 존재한다.
체
K
{\displaystyle K}
위의 아핀 공간
A
{\displaystyle A}
의 부분 집합
∅
≠
B
⊆
A
{\displaystyle \varnothing \neq B\subseteq A}
가 공집합이 아니며,
K
{\displaystyle K}
의 표수 가 2가 아니라고 하자. 그렇다면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
B
{\displaystyle B}
는
A
{\displaystyle A}
의 부분 아핀 공간이다.
임의의
a
,
b
∈
B
{\displaystyle a,b\in B}
에 대하여,
A
f
f
S
p
a
n
K
(
{
a
,
b
}
)
⊆
B
{\displaystyle \operatorname {Aff\,Span} _{K}(\{a,b\})\subseteq B}
이다.
즉, 체의 표수가 2가 아닐 경우, 주어진 부분 집합이 부분 아핀 공간일 필요충분조건은 아핀 직선 에 대하여 닫혀있는 것이다. 표수 2의 체의 경우 이는 일반적으로 성립하지 않는다. 예를 들어, 크기 2의 유한체
F
2
{\displaystyle \mathbb {F} _{2}}
위의 아핀 공간의 모든 부분 집합은 아핀 직선에 대하여 닫혀있다.
주어진 아핀 공간의 부분 아핀 공간의 평행은 동치 관계 를 이루며, 약한 평행은 부분 순서 를 이룬다. 평행은 약한 평행을 함의한다. 체
K
{\displaystyle K}
위의 아핀 공간
A
{\displaystyle A}
의 두 부분 아핀 공간
B
,
C
⊆
A
{\displaystyle B,C\subseteq A}
가 약하게 평행한다면,
B
=
C
{\displaystyle B=C}
이거나
B
∩
C
=
∅
{\displaystyle B\cap C=\varnothing }
이다. 또한, 임의의 부분 아핀 공간
B
⊆
A
{\displaystyle B\subseteq A}
및 이에 포함되지 않는 점
a
∈
A
∖
B
{\displaystyle a\in A\setminus B}
에 대하여,
a
∈
B
′
{\displaystyle a\in B'}
이며
B
∥
B
′
{\displaystyle B\parallel B'}
인 유일한 부분 아핀 공간
B
′
⊆
A
{\displaystyle B'\subseteq A}
가 존재한다. 이는 에우클레이데스 의 평행선 공준 의 내용과 일치한다.
체
K
{\displaystyle K}
위의 아핀 공간
A
{\displaystyle A}
의 부분 아핀 공간
B
,
C
⊆
A
{\displaystyle B,C\subseteq A}
에 대하여, 다음이 성립한다.
dim
A
f
f
S
p
a
n
K
(
B
∪
C
)
=
{
dim
(
V
(
B
)
+
V
(
C
)
)
+
1
B
∩
C
=
∅
dim
(
V
(
B
)
+
V
(
C
)
)
B
∩
C
≠
∅
{\displaystyle \dim \operatorname {Aff\,Span} _{K}(B\cup C)={\begin{cases}\dim(V(B)+V(C))+1&B\cap C=\varnothing \\\dim(V(B)+V(C))&B\cap C\neq \varnothing \end{cases}}}
체
K
{\displaystyle K}
위의 유한
d
{\displaystyle d}
차원 아핀 공간
A
{\displaystyle A}
와 음이 아닌 정수
0
≤
d
′
≤
d
{\displaystyle 0\leq d'\leq d}
가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 부분 집합
B
⊆
A
{\displaystyle B\subseteq A}
에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
B
{\displaystyle B}
는
A
{\displaystyle A}
의
d
′
{\displaystyle d'}
차원 부분 아핀 공간이다.
다음을 만족시키는
d
−
d
′
{\displaystyle d-d'}
차원 부분 벡터 공간
V
⊆
Hom
K
(
A
,
K
)
{\displaystyle V\subseteq \operatorname {Hom} _{K}(A,K)}
가 존재한다. (여기서
Hom
K
(
−
,
K
)
{\displaystyle \operatorname {Hom} _{K}(-,K)}
는 아핀 형식 들로 구성된 벡터 공간이다.)
1
∉
V
{\displaystyle 1\not \in V}
B
=
V
⊥
{\displaystyle B=V^{\perp }}
(여기서
(
−
)
⊥
{\displaystyle (-)^{\perp }}
는 직교 여공간 이다.)
이에 따라, 직교 여공간은
A
{\displaystyle A}
의
d
′
{\displaystyle d'}
차원 부분 아핀 공간들과 상수 함수 를 포함하지 않는
Hom
K
(
A
,
K
)
{\displaystyle \operatorname {Hom} _{K}(A,K)}
의
d
−
d
′
{\displaystyle d-d'}
차원 부분 벡터 공간들 사이의 일대일 대응이며, 후자의 기저를 통해 전자를 연립 일차 방정식 의 해의 공간으로 나타낼 수 있다. 즉,
V
{\displaystyle V}
의 기저
(
f
1
,
…
,
f
d
−
d
′
)
⊆
V
{\displaystyle (f_{1},\dots ,f_{d-d'})\subseteq V}
가 주어졌을 때, 다음이 성립한다.
B
=
ker
f
1
∩
⋯
∩
ker
f
d
−
d
′
{\displaystyle B=\ker f_{1}\cap \cdots \cap \ker f_{d-d'}}
이 경우, 주어진
B
{\displaystyle B}
의 직교 여공간
V
{\displaystyle V}
는 유일하나, 이를 해의 공간으로 하는 연립 일차 방정식은
V
{\displaystyle V}
의 기저의 선택에 의존하므로 유일하지 않다.
주어진 아핀 공간의 0차원 부분 아핀 공간은 한원소 집합 들이며, 유한
d
{\displaystyle d}
차원 아핀 공간의
d
{\displaystyle d}
차원 부분 아핀 공간은 자기 자신으로 유일하다. 체
K
{\displaystyle K}
위의 아핀 공간
A
{\displaystyle A}
의 두 점
a
,
b
∈
A
{\displaystyle a,b\in A}
로 생성된 부분 아핀 공간은
a
≠
b
{\displaystyle a\neq b}
일 경우
a
{\displaystyle a}
,
b
{\displaystyle b}
를 지나는 아핀 직선 이다.
체
K
{\displaystyle K}
위의 3차원 아핀 공간
A
{\displaystyle A}
의 아핀 기저
(
o
;
e
1
,
e
2
,
e
3
)
{\displaystyle (o;e_{1},e_{2},e_{3})}
이 주어졌다고 하자.
A
{\displaystyle A}
의 2차원 부분 아핀 공간은 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있는 부분 집합들이다.
{
o
+
x
e
1
+
y
e
2
+
z
e
3
:
x
,
y
,
z
∈
K
,
a
x
+
b
y
+
c
z
+
d
=
0
}
{\displaystyle \{o+xe_{1}+ye_{2}+ze_{3}\colon x,y,z\in K,\;ax+by+cz+d=0\}}
여기서
(
a
,
b
,
c
)
∈
K
3
∖
{
(
0
,
0
,
0
)
}
{\displaystyle (a,b,c)\in K^{3}\setminus \{(0,0,0)\}}
이다. 이는 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있는 부분 집합과 동치이다.
a
+
K
u
+
K
v
=
{
a
+
λ
u
+
μ
v
:
λ
,
μ
∈
K
}
{\displaystyle a+Ku+Kv=\{a+\lambda u+\mu v\colon \lambda ,\mu \in K\}}
여기서
a
∈
A
{\displaystyle a\in A}
이며
{
u
,
v
}
⊆
V
(
A
)
{\displaystyle \{u,v\}\subseteq V(A)}
는 선형 독립 집합 이다. 이 경우
(
a
;
u
,
v
)
{\displaystyle (a;u,v)}
는 이 부분 아핀 공간의 아핀 기저이다. 1차원 부분 아핀 공간은 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있는 부분 집합들이다.
{
o
+
x
e
1
+
y
e
2
+
z
e
3
:
x
,
y
,
z
∈
K
,
a
x
+
b
y
+
c
z
+
d
=
a
′
x
+
b
′
y
+
c
′
z
+
d
′
=
0
}
{\displaystyle \{o+xe_{1}+ye_{2}+ze_{3}\colon x,y,z\in K,\;ax+by+cz+d=a'x+b'y+c'z+d'=0\}}
여기서
{
(
a
,
b
,
c
)
,
(
a
′
,
b
′
,
c
′
)
}
⊆
K
3
∖
{
(
0
,
0
,
0
)
}
{\displaystyle \{(a,b,c),(a',b',c')\}\subseteq K^{3}\setminus \{(0,0,0)\}}
은 선형 독립 집합이다. 이는 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있는 부분 집합과 동치이다.
a
+
K
u
=
{
a
+
λ
u
:
λ
∈
K
}
{\displaystyle a+Ku=\{a+\lambda u\colon \lambda \in K\}}
여기서
a
∈
A
{\displaystyle a\in A}
이며
u
∈
V
(
A
)
∖
{
0
}
{\displaystyle u\in V(A)\setminus \{0\}}
이다. 이 경우
(
a
;
u
)
{\displaystyle (a;u)}
는 이 부분 아핀 공간의 아핀 기저이다.