평행선 공준

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만약 가로지르는 한 직선과 가로질러진 두 직선이 만드는 같은 방향의 각 α와 β의 합이 180°보다 작다면 두 직선은 그 방향에서 만난다.

기하학에서 평행선 공준원론에 등장하는 다섯 개의 공준 중 마지막으로, 내용은 다음과 같다.

선분을 서로 다른 두 직선이 교차할 때, 두 내각의 합이 직각의 두 배보다 작으면, 이 두 직선을 무한히 연장하면 두 내각의 합이 직각의 두 배보다 작은 쪽에서 교차한다.

유클리드 기하학은 원론에 등장하는 다섯 공준을 전부 인정하는 기하학이며, 그중에서 평행선 공준을 빼고 이에 모순되는 공준을 추가하여 구성되는 기하학을 비유클리드 기하학이라고 한다. 또한, 이 다섯 번째 공준를 제외한 네 개의 공준만 사용하는 기하학은 절대기하학이라고 한다.

동치인 명제들[편집]

평행선 공준과 동치인 명제 중 가장 유명한 것은 존 플레이페어가 발견한 것이다.

한 직선과 평행이고 그 직선 위에 있지 않은 한 점을 지나는 직선은 하나뿐이다. (플레이페어의 공리)

그 밖에 다음 명제들이 평행선 공준과 동치이다.

  1. 삼각형의 내각의 합은 항상 같다.
  2. 삼각형의 내각의 합은 180°이다. (삼각형 공준)
  3. 사각형의 내각의 합은 360°이다.
  4. 사변형의 세 내각이 모두 90°이면 다른 한 내각도 90°이다.
  5. 합동이 아닌 닮은 도형들이 존재한다. (월리스의 공리)
  6. 모든 삼각형은 외접원을 갖는다.
  7. 평행한 두 직선의 거리는 어느 점에서나 일정하다.
  8. 한 직선에 평행하고 같지 않은 두 직선은 서로 평행하다.
  9. 원의 둘레와 지름의 비율은 항상 일정하다. (원주율)
  10. 직각삼각형의 빗변의 길이의 제곱은 직각을 이루는 두 변의 길이의 제곱의 합과 같다. (피타고라스의 정리)

역사[편집]

평행선 공준은 원론의 공준 중 다른 네 공준보다 직관적이지 못하다. 따라서 몇몇 수학자들은 이 공준이 다른 명제들로부터 증명될 수 있을지도 모른다고 생각했다. 또한 다른 몇몇 수학자들은 이 공준의 부정을 가정하여 모순을 이끌어내려고 하였다.

결국 19세기에 이 공준은 증명될 수 없다고 결론지어졌으며, 이것의 반대 상황을 가정해도 모순이 없다는 것이 밝혀졌다. 이러한 결과를 1829년 니콜라이 이바노비치 로바쳅스키가 한 러시아 저널에 발표하였다. (1840년에 독일어로 다시 출판되었다.) 또한 1831년 보여이 야노시가 로바쳅스키와는 독자적으로 그의 아버지의 논문에 이러한 발견을 실었다. 카를 프리드리히 가우스가 이러한 문제를 연구했다는 설도 있지만, 그는 이러한 내용을 출간하지 않았다.

이 새로운 기하학은 후에 니콜라이 이바노비치 로바쳅스키, 베른하르트 리만앙리 푸앵카레에 의해 쌍곡기하학구면기하학으로 발전되었다.