상집합: 두 판 사이의 차이
Osteologia (토론 | 기여) 필터 (수학)에서 분리 |
Osteologia (토론 | 기여) 편집 요약 없음 |
||
58번째 줄: | 58번째 줄: | ||
는 각각 상집합과 하집합을 이룬다. 사실, 이들은 각각 [[필터 (수학)|필터]]와 [[필터 (수학)|아이디얼]]을 이룬다. |
는 각각 상집합과 하집합을 이룬다. 사실, 이들은 각각 [[필터 (수학)|필터]]와 [[필터 (수학)|아이디얼]]을 이룬다. |
||
=== |
=== 실직선 === |
||
실수의 [[전순서 집합]] <math>(\mathbb R,\le)</math>의 상집합은 항상 다음 네 가지 가운데 하나이다. |
|||
{{본문|순서수}} |
|||
* <math>(a,\infty)</math> (<math>a\in\mathbb R</math>) |
|||
* <math>[a,\infty)</math> (<math>a\in\mathbb R</math>) |
|||
* <math>\mathbb R</math> |
|||
* <math>\varnothing</math> |
|||
마찬가지로, 실수의 [[전순서 집합]] <math>(\mathbb R,\le)</math>의 하집합은 항상 다음 네 가지 가운데 하나이다. |
|||
* <math>(-\infty,a)</math> (<math>a\in\mathbb R</math>) |
|||
* <math>(-\infty,a]</math> (<math>a\in\mathbb R</math>) |
|||
* <math>\mathbb R</math> |
|||
* <math>\varnothing</math> |
|||
=== 정렬 집합 === |
|||
[[순서수]]는 스스로 미만의 다른 [[순서수]]들의 집합으로 여길 수 있다. |
[[순서수]]는 스스로 미만의 다른 [[순서수]]들의 집합으로 여길 수 있다. |
||
:<math>\alpha=\{\beta\in\operatorname{Ord}\colon\beta<\alpha\}</math> |
:<math>\alpha=\{\beta\in\operatorname{Ord}\colon\beta<\alpha\}</math> |
||
이 경우, 두 순서수 <math>\alpha,\beta</math>에 대하여, 만약 <math>\alpha\le\beta</math>라면 <math>\alpha</math>는 <math>\beta</math>의 하집합이다. |
이 경우, 두 순서수 <math>\alpha,\beta</math>에 대하여, 만약 <math>\alpha\le\beta</math>라면 <math>\alpha</math>는 <math>\beta</math>의 하집합이다. |
||
[[순서수]] <math>\alpha</math>의 모든 상집합은 다음과 같은 꼴이다. |
|||
:<math>\{\beta\in\operatorname{Ord}\colon\beta_0\le\beta<\alpha\}</math> (<math>\beta_0\le\alpha+1</math>) |
|||
[[순서수]] <math>\alpha</math>의 모든 하집합은 다음과 같은 꼴이다. |
|||
:<math>\{\beta\in\operatorname{Ord}\colon\beta<\beta_0\}</math> (<math>\beta_0\le\alpha+1</math>) |
|||
== 바깥 고리 == |
== 바깥 고리 == |
2016년 6월 16일 (목) 09:14 판
순서론에서, 상집합(上集合, 영어: upper set, upward-closed set, upset)은 에 속하는 원소보다 더 큰 임의의 원소 역시 에 속하는, 원순서 집합의 부분 집합 이다. 마찬가지로, 하집합(下集合, 영어: lower set, downward-closed set, downset)은 에 속하는 원소보다 더 작은 임의의 원소 역시 에 속하는, 원순서 집합의 부분 집합 이다.
정의
원순서 집합 의 부분 집합 의 상폐포(上閉包, 영어: upper closure)는 다음과 같은 부분 집합이다.
이는 를 포함하는 최소 상집합이다. 원순서 집합 의 부분 집합 의 하폐포(下閉包, 영어: lower closure)는 다음과 같은 부분 집합이다.
이는 를 포함하는 최소 하집합이다.
원순서 집합 의 부분 집합 에 대하여 다음 조건들이 모두 서로 동치이며, 이를 만족시키는 부분 집합을 상집합(上集合, 영어: upper set)이라고 한다.
- 임의의 및 에 대하여, 라면 이다.
- 및 사슬 에 대하여, 만약 라면, 이다.
- 는 하집합이다.
원순서 집합 의 부분 집합 에 대하여 다음 조건들이 모두 서로 동치이며, 이를 만족시키는 부분 집합을 하집합(下集合, 영어: lower set)이라고 한다.
- 임의의 및 에 대하여, 라면 이다.
- 및 사슬 에 대하여, 만약 라면, 이다.
- 는 하집합이다.
성질
원순서 집합 의 상집합들의 (유한 또는 무한) 족 의 교집합
및 합집합
역시 상집합이다. 마찬가지로, 하집합들의 족의 (유한 또는 무한) 족의 교집합과 합집합 역시 하집합이다.
따라서, 원순서 집합 의 상집합들의 족은 (부분 집합 관계에 대하여) 완비 격자를 이룬다. 마찬가지로, 의 하집합들의 족 역시 완비 격자를 이룬다.
반사슬과의 관계
부분 순서 집합 의 상집합 의 극소 원소들의 집합 는 의 반사슬을 이룬다. 마찬가지로, 의 하집합 의 극대 원소들의 집합 은 의 반사슬을 이룬다.
반대로, 부분 순서 집합 의 반사슬 가 주어졌을 때, 는 상집합이며
이다. 따라서, 의 반사슬 집합에서 상집합 집합으로 가는 함수
는 단사 함수이며,
만약 가 내림 사슬 조건을 만족시킨다면 이 두 함수는 전단사 함수이다. 그러나 일반적 부분 순서 집합에 대해서는 전단사 함수가 아닐 수 있다. 예를 들어, 실수의 전순서 집합에서 양의 실수의 부분 집합 는 상집합이지만 극소 원소를 갖지 않는다.
예
자명한 상집합·하집합
임의의 원순서 집합 에 대하여, 는 스스로의 상집합이자 하집합이며, 또 공집합 역시 의 상집합이자 하집합이다.
주 필터와 주 아이디얼
임의의 원순서 집합 의 원소 에 대하여,
는 각각 상집합과 하집합을 이룬다. 사실, 이들은 각각 필터와 아이디얼을 이룬다.
실직선
실수의 전순서 집합 의 상집합은 항상 다음 네 가지 가운데 하나이다.
- ()
- ()
마찬가지로, 실수의 전순서 집합 의 하집합은 항상 다음 네 가지 가운데 하나이다.
- ()
- ()
정렬 집합
순서수는 스스로 미만의 다른 순서수들의 집합으로 여길 수 있다.
이 경우, 두 순서수 에 대하여, 만약 라면 는 의 하집합이다.
순서수 의 모든 상집합은 다음과 같은 꼴이다.
- ()
순서수 의 모든 하집합은 다음과 같은 꼴이다.
- ()
바깥 고리
- “Definition: upper set”. 《ProofWiki》 (영어).
- “Definition: upper closure”. 《ProofWiki》 (영어).
- “Definition: lower set”. 《ProofWiki》 (영어).
- “Definition: lower closure”. 《ProofWiki》 (영어).
- “Definition: strict upper closure”. 《ProofWiki》 (영어).
- “Definition: strict lower closure”. 《ProofWiki》 (영어).
- “Equivalence of definitions of upper set”. 《ProofWiki》 (영어).
- “Equivalence of definitions of lower set”. 《ProofWiki》 (영어).