쿠쟁 문제

복소기하학에서 쿠쟁 문제(Cousin問題, 영어: Cousin problems)는 복소다양체 위의, 정칙 함수의 층과 유리형 함수의 층 사이의 관계에 대한 두 개의 유명한 문제이다.

정의

복소다양체 $M$ 및 열린 덮개 $\{U_{i}\}$ 및 유리형 함수 $f_{i}\colon U_{i}\to {\hat {\mathbb {C} }}$ 가 주어졌다고 하자.

제1 쿠쟁 문제

모든 $i,j$ 에 대하여, 만약 $U_{i}\cap U_{j}\neq \varnothing$ 이라면 $f_{i}|_{U_{i}\cap U_{j}}-f_{j}|_{U_{i}\cap U_{j}}$ 가 정칙함수라고 하자. 그렇다면, 제1 쿠쟁 문제는 다음 조건을 만족시키는 유리형 함수 $f\colon M\to {\hat {\mathbb {C} }}$ 가 존재하는지에 대한 문제이다.

모든 $i$ 에 대하여, $f|_{U_{i}}-f_{i}$ 는 정칙 함수이다.

이는 층 코호몰로지로 다음과 같이 서술할 수 있다. ${\mathcal {K}}$ 가 $M$ 위의 유리형 함수의 층이며, ${\mathcal {O}}$ 가 $M$ 위의 정칙 함수들의 층이라고 하자. 그렇다면 몫층 ${\mathcal {K}}/{\mathcal {O}}$ 를 정의할 수 있으며, 자연스러운 사상

\Gamma _{M}({\mathcal {K}}){\xrightarrow {\phi }}\Gamma _{M}({\mathcal {K}}/{\mathcal {O}})

가 존재한다. 여기서 $\Gamma _{M}$ 은 대역적 단면들의 아벨 군이다.

$\{f_{i}\}_{i\in I}$ 는 ${\mathcal {K}}/{\mathcal {O}}$ 의 대역적 단면을 정의한다. 만약 위 조건을 만족시키는 유리형 함수 $f$ 가 존재한다면, 이는 $\{f_{i}\}_{i\in I}$ 가 사상 $\phi$ 의 상에 포함된다는 것과 같다. 즉, 제1 쿠쟁 문제는 사상 $\phi$ 가 전사 사상인지 여부를 묻는다.

층 코호몰로지의 긴 완전열을 사용하면, $\Gamma _{M}(-)$ 은 0차 층 코호몰로지 $H^{0}(M;-)$ 과 같으므로,

H^{0}(M;{\mathcal {K}}){\xrightarrow {\phi }}H^{0}(M;{\mathcal {K}}/\mathbf {O} )\to H^{1}(M;{\mathcal {O}})\to \cdots

와 같은 긴 완전열이 존재한다. 따라서, 만약 $H^{1}(M;{\mathcal {O}})$ 가 자명군이라면 $\phi$ 는 전사 사상이 되며, 제1 쿠쟁 문제가 해결 가능하다. 특히, 카르탕 B정리에 따라서, 만약 $M$ 이 슈타인 다양체라면 제1 쿠쟁 문제가 해결 가능하다.

제2 쿠쟁 문제

모든 $i,j$ 에 대하여, 만약 $U_{i}\cap U_{j}\neq \varnothing$ 이라면 $(f_{i}|_{U_{i}\cap U_{j}})/(f_{j}|_{U_{i}\cap U_{j}})$ 가 어디서나 0이 아닌 정칙함수라고 하자. 그렇다면, 제1 쿠쟁 문제는 다음 조건을 만족시키는 유리형 함수 $f\colon M\to {\hat {\mathbb {C} }}$ 가 존재하는지에 대한 문제이다.

모든 $i$ 에 대하여, $f|_{U_{i}}/f_{i}$ 는 정칙함수이며, 어디서나 0이 아니다.

${\mathcal {O}}^{*}$ 가 어디서나 0이 아닌 정칙 함수들의 곱셈군의 층이며, ${\mathcal {K}}^{*}$ 가 모든 곳에서 0이 아닌 유리형 함수들의 곱셈군의 층이라고 하자. 그렇다면 몫층 ${\mathcal {K}}^{*}/{\mathcal {O}}^{*}$ 및 사상

\Gamma _{M}({\mathcal {K}}^{*}){\xrightarrow {\phi }}\Gamma _{M}({\mathcal {K}}^{*}/{\mathcal {O}}^{*})

를 정의할 수 있다. 이 경우 $\{f_{i}\}_{i\in I}$ 는 ${\mathcal {K}}^{*}/{\mathcal {O}}^{*}$ 의 대역적 단면을 정의하며, $f$ 는 ${\mathcal {K}}^{*}$ 의 대역적 단면이다. 따라서, 제2 쿠쟁 문제는 $\phi$ 가 전사 사상인지 여부와 동치이다.