바이어슈트라스의 곱 정리

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바이어슈트라스의 곱 정리(Weierstrass product theorem) 혹은 바이어슈트라스 분해정리(Weierstrass factorization theorem)란 해석학정리로서, 19세기에 복소해석학이 이룬 괄목할 만한 성과 중 하나로 간주된다. 카를 바이어슈트라스(Karl Theodor Wilhelm Weierstraß)가 제출한 이 정리는 다음과 같이 표현된다:

  • (존재성) 극점이 존재하지 않는 복소수 수열이 주어지면, 이 점들만 영점으로 가지는 전해석함수가 최소 하나 존재한다.
  • (부분적 경우의 구성) 주어진 0이 아닌 수열 (a_n)에 대하여, 하나의 전해석함수는 다음과 같다.
f(z) = \prod_{n=1}^\infty{e^{P_n(z)} \left( 1 - \frac{z}{a_n} \right)}  \left( \mbox{for }P_n(z) = \sum_{k=1}^\infty{\frac{1}{k} \left( \frac{z}{a_n} \right)^{k}} \right)

증명[편집]

간단한 형태의 구성 방법 증명만 다룬다. 좀 더 포괄적인 존재성에 관한 증명은 여기에서는 생략한다.

구성[편집]

  • |z|\le R<2R\le |a_n|이면 P_n(z)는,
\left| P_n(z) + \log \left( 1-\frac{z}{a_n} \right) \right| \le 2 \left| \frac{z}{a_n} \right| ^{n+1} \le \frac{1}{2^n}을 만족한다.
  • 다시 말해서 충분히 큰 M에 대하여 2R\le |a_M|이면,
\sum_{n=M}^\infty{\left|P_n(z)+\log\left(1-\frac{z}{a_n}\right)\right|} \le \sum_{n=M}^\infty {\frac{1}{2^{n}}}<1이다.

일반화[편집]

미탁-레플러 정리를 이용하여 바이어슈트라스의 곱 정리를 다음과 같이 일반화할 수 있다.

  • 정리 : (a_n)\infty 로 발산하는 서로 다른 복소수들의 수열이며 (b_n)은 임의의 복소수열이라 하자. 그러면 모든 자연수 n에 대하여 f(a_n)=b_n 을 만족하는 전해석함수 f가 적어도 하나 존재한다.

참고 문헌[편집]

  • 고석구, 『복소해석학개론(2판)』, 경문사, 2005
  • 강승필, 『해설 복소함수론』, 경문사, 2007