양자역학에서 중심 퍼텐셜 속 입자(particle in a central potential)는 변수분리법으로 풀 수 있는 문제 유형이다. 수소 원자나 3차원 조화 진동자, 구형 무한 퍼텐셜 우물 등이 이 유형에 속한다.
중심 퍼텐셜은 구면 대칭인 퍼텐셜
을 말한다. 즉, 해밀토니언은 다음과 같다.
.
여기서
은 퍼텐셜 중심에서부터의 거리이고,
는 라플라스 연산자,
은 입자의 질량이다.
구면좌표계에서의 변수분리법[편집]
문제가 구면 대칭이므로, 구면좌표계
로의 변수분리법이 자연스러운 가설 풀이다. 즉, 다음과 같이 쓰자.
.
여기서
는 다음을 만족하여야 한다.
(상수)
이러한 함수는 구면 조화 함수
라고 하며, 다음을 만족한다.
.
여기서
은 음이 아닌 정수이며,
은
과
사이의 정수다.
따라서,
은 다음을 만족한다.
.
이를
로 쓰면 다음과 같다.
.
따라서 3차원 중심 퍼텐셜 문제는 유효 퍼텐셜
![{\displaystyle V_{\text{eff}}(r)=V(r)+{\frac {l(l+1)}{2mr^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19cc2b5e1149aa3381f5fb786bf1ab7aa1e9ecec)
속에 갇힌 1차원 입자로 환원됨을 알 수 있다.
참고 문헌[편집]