중심 퍼텐셜 속 입자

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양자역학에서, 중심 퍼텐셜 속 입자(particle in a central potential)는 변수분리법으로 풀 수 있는 문제 유형이다. 수소 원자나 3차원 조화 진동자, 구형 무한 퍼텐셜 우물 등이 이 유형에 속한다.

정의[편집]

중심 퍼텐셜은 구면 대칭인 퍼텐셜 을 말한다. 즉, 해밀토니언은 다음과 같다.

.

여기서 은 퍼텐셜 중심에서부터의 거리이고, 라플라스 연산자, 은 입자의 질량이다.

구면좌표계에서의 변수분리법[편집]

문제가 구면 대칭이므로, 구면좌표계 로의 변수분리법이 자연스러운 가설 풀이다. 즉, 다음과 같이 쓰자.

.

여기서 는 다음을 만족하여야 한다.

(상수)

이러한 함수는 구면 조화 함수 라고 하며, 다음을 만족한다.

.

여기서 은 음이 아닌 정수이며, 사이의 정수다. 따라서, 은 다음을 만족한다.

.

이를 로 쓰면 다음과 같다.

.

따라서 3차원 중심 퍼텐셜 문제는 유효 퍼텐셜

속에 갇힌 1차원 입자로 환원됨을 알 수 있다.

구형 무한 퍼텐셜 우물[편집]

쿨롱 퍼텐셜[편집]

참고 문헌[편집]