일차 방정식의 그래프의 예시 수학 에서 일차 방정식 (一次方程式, 영어 : linear equation ) 또는 선형 방정식 (線型方程式)은 최고 차수의 항의 차수가 1인 다항 방정식 을 뜻한다. 일차 방정식의 변수는 하나뿐일 수도, 둘 이상일 수도 있다. 수학적 모델링 에 필요한 비선형 방정식 은 흔히 풀기 쉬운 일차 방정식으로 근사하여 다뤄진다.
변수가 하나뿐인 일차 방정식은 단순히 식을 정리하여 풀이할 수 있다. 하나의 변수
x
{\displaystyle x}
a
x
+
b
=
0
{\displaystyle ax+b=0}
그 풀이는 다음과 같은 경우로 나뉜다.
만약
a
≠
0
{\displaystyle a\neq 0}
x
=
−
b
/
a
{\displaystyle x=-b/a}
만약
a
=
0
{\displaystyle a=0}
b
≠
0
{\displaystyle b\neq 0}
불능 방정식 이다.
만약
a
=
0
{\displaystyle a=0}
b
=
0
{\displaystyle b=0}
부정 방정식 에 속한다. 일차 방정식의 예는 다음과 같다.
−
2
x
+
5
=
−
3
x
+
45
{\displaystyle -2x+5=-3x+45}
x
=
40
{\displaystyle x=40}
6
x
−
5
=
6
x
−
6
{\displaystyle 6x-5=6x-6}
3
x
−
3
=
3
x
−
3
{\displaystyle 3x-3=3x-3}
두 변수
x
,
y
{\displaystyle x,y}
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
x
y
,
x
2
,
y
1
/
3
,
sin
x
{\displaystyle xy,x^{2},y^{1/3},\sin x}
비선형항 을 포함해서는 안된다. 두 변수의 계수가 모두 0인 경우를 제외하면 평면 위의 직선을 해집합으로 한다. 또한
y
{\displaystyle y}
일차 함수 의 영점을 구하는 문제와 동치이다. 이변수 일차 방정식의 표현 방법은 여러 가지가 있으며, 이는 평면 위의 직선의 방정식을 표현하는 방법과도 같다.
모든 이변수 일차 방정식은 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있다.
a
x
+
b
y
+
c
=
0
{\displaystyle ax+by+c=0}
여기서
a
2
+
b
2
≠
0
{\displaystyle a^{2}+b^{2}\neq 0}
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)}
스칼라곱
a
x
+
b
y
{\displaystyle ax+by}
−
c
{\displaystyle -c}
(
x
,
y
)
{\displaystyle (x,y)}
행렬 을 통해 다음과 같이 표현할 수 있다.
(
a
b
)
(
x
y
)
=
−
c
or
(
a
b
c
)
(
x
y
1
)
=
0
{\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}=-c\quad {\text{or}}\quad {\begin{pmatrix}a&b&c\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}}=0}
만약 직선이 놓인 직교 좌표 평면을 복소평면 으로 간주한다면, 점은 두 실수의 순서쌍
(
x
,
y
)
{\displaystyle (x,y)}
z
{\displaystyle z}
B
¯
z
+
B
z
¯
+
C
=
0
{\displaystyle {\bar {B}}z+B{\bar {z}}+C=0}
여기서
B
{\displaystyle B}
복소수 ,
C
{\displaystyle C}
실수 ,
B
¯
{\displaystyle {\bar {B}}}
B
{\displaystyle B}
켤레 복소수 이다. 이는 직선의 방정식의 일반 꼴에서
z
=
x
+
y
i
{\displaystyle z=x+yi}
B
=
(
a
+
b
i
)
/
2
{\displaystyle B=(a+bi)/2}
C
=
c
{\displaystyle C=c}
기울기
m
{\displaystyle m}
y 절편
n
{\displaystyle n}
y
=
m
x
+
n
{\displaystyle y=mx+n}
이는 일반 꼴로부터
m
=
−
a
/
b
{\displaystyle m=-a/b}
n
=
−
c
/
b
{\displaystyle n=-c/b}
y 축과 평행하는 직선)(기울기가 무한대인 직선)의 방정식은 이러한 꼴로 나타낼 수 없다.
직선이 지나는 점
(
x
1
,
y
1
)
{\displaystyle (x_{1},y_{1})}
m
{\displaystyle m}
y
−
y
1
=
m
(
x
−
x
1
)
{\displaystyle y-y_{1}=m(x-x_{1})}
수직선의 방정식은 이러한 꼴로 나타낼 수 없다.
직선 위에 놓인 두 점
(
x
1
,
y
1
)
≠
(
x
2
,
y
2
)
{\displaystyle (x_{1},y_{1})\neq (x_{2},y_{2})}
(
y
−
y
1
)
(
x
2
−
x
1
)
=
(
x
−
x
1
)
(
y
2
−
y
1
)
{\displaystyle (y-y_{1})(x_{2}-x_{1})=(x-x_{1})(y_{2}-y_{1})}
이를 행렬식을 통해 표현하면 다음과 같다.
|
x
y
1
x
1
y
1
1
x
2
y
2
1
|
=
0
{\displaystyle {\begin{vmatrix}x&y&1\\x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\end{vmatrix}}=0}
모든 직선의 방정식은 이러한 꼴로 나타낼 수 있다. 수직선이 아닐 경우
x
1
≠
x
2
{\displaystyle x_{1}\neq x_{2}}
y
−
y
1
=
y
2
−
y
1
x
2
−
x
1
(
x
−
x
1
)
{\displaystyle y-y_{1}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}(x-x_{1})}
x 절편
x
0
{\displaystyle x_{0}}
y 절편
y
0
{\displaystyle y_{0}}
x
0
≠
0
{\displaystyle x_{0}\neq 0}
y
0
≠
0
{\displaystyle y_{0}\neq 0}
x
x
0
+
y
y
0
=
1
{\displaystyle {\frac {x}{x_{0}}}+{\frac {y}{y_{0}}}=1}
이는 직선의 방정식의 일반적인 꼴에
x
0
=
−
c
/
a
{\displaystyle x_{0}=-c/a}
y
0
=
−
c
/
b
{\displaystyle y_{0}=-c/b}
x 축에 평행하거나, y 축에 평행하거나, 원점을 지나는 직선의 방정식은 이러한 꼴로 나타낼 수 없다.
직선을 하나의 매개 변수가 실수 범위에서 변화할 때 이 매개 변수에 의존하는 점이 그리는 궤적으로서 표현할 수 있다. 예를 들어, 점
P
=
(
x
0
,
y
0
)
{\displaystyle P=(x_{0},y_{0})}
u
=
(
a
,
b
)
{\displaystyle \mathbf {u} =(a,b)}
x
=
x
0
+
a
t
y
=
y
0
+
b
t
t
∈
(
−
∞
,
∞
)
{\displaystyle {\begin{matrix}x=x_{0}+at\\y=y_{0}+bt\end{matrix}}\qquad t\in (-\infty ,\infty )}
이는 다음과 같이 간략히 쓸 수도 있다.
P
Q
→
=
t
u
t
∈
(
−
∞
,
∞
)
{\displaystyle {\overrightarrow {PQ}}=t\mathbf {u} \qquad t\in (-\infty ,\infty )}
여기서
Q
=
(
x
,
y
)
{\displaystyle Q=(x,y)}
P
Q
→
×
u
=
0
{\displaystyle {\overrightarrow {PQ}}\times \mathbf {u} =\mathbf {0} }
여기서
×
{\displaystyle \times }
벡터곱 ,
0
{\displaystyle \mathbf {0} }
영벡터 이다.
또한, 두 점
P
=
(
x
1
,
y
1
)
≠
Q
=
(
x
2
,
y
2
)
{\displaystyle P=(x_{1},y_{1})\neq Q=(x_{2},y_{2})}
x
=
(
1
−
t
)
x
1
+
t
x
2
y
=
(
1
−
t
)
y
1
+
t
y
2
t
∈
(
−
∞
,
∞
)
{\displaystyle {\begin{matrix}x=(1-t)x_{1}+tx_{2}\\y=(1-t)y_{1}+ty_{2}\end{matrix}}\qquad t\in (-\infty ,\infty )}
이를 간략히 표현하면 다음과 같다.
O
R
→
=
(
1
−
t
)
O
P
→
+
t
O
Q
→
t
∈
(
−
∞
,
∞
)
{\displaystyle {\overrightarrow {OR}}=(1-t){\overrightarrow {OP}}+t{\overrightarrow {OQ}}\qquad t\in (-\infty ,\infty )}
여기서
R
=
(
x
,
y
)
{\displaystyle R=(x,y)}
P
R
→
×
P
Q
→
=
0
{\displaystyle {\overrightarrow {PR}}\times {\overrightarrow {PQ}}=\mathbf {0} }
일차 방정식은 두 개 이상의 변수를 가질 수도 있다.
n
{\displaystyle n}
x
1
,
…
,
x
n
{\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}
a
1
x
1
+
a
2
x
2
+
⋯
+
a
n
x
n
+
b
=
0
{\displaystyle a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}+b=0}
여기서
a
1
,
.
.
.
.
,
a
n
,
b
{\displaystyle a_{1},....,a_{n},b}
일차 함수 의 영점 을 구하는 방정식이다. 이러한 방정식의 해는
a
i
{\displaystyle a_{i}}
n
{\displaystyle n}
아핀 초평면 (즉,
(
n
−
1
)
{\displaystyle (n-1)}
