조합론에서 음계산법(陰計算法, 영어: umbral calculus)은 특정 수열 · 다항식열에서의 아랫첨자를 마치 거듭제곱처럼 여겨 계산하는 계산법이다.
표수가 0인 체
가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 위의 다항식환
는
위의 벡터 공간을 이룬다. 이 속의 다항식열(영어: polynomial sequence)은 다음과 같은 조건들을 만족시키는 열이다.
![{\displaystyle p\colon \mathbb {N} \to K[x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/013947be467603ed476efe10983d958c3a3052d9)
![{\displaystyle p\colon i\mapsto p_{i}\in K[x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0a6dc30f802a58c4665431d52b79c8bbad1dcaf)
![{\displaystyle \deg p_{i}=i\qquad \forall i\in \mathbb {N} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1998fa038c30359ef79af38da23ed90228b4f8a9)
음합성[편집]
다항식
![{\displaystyle p(x)=\sum _{i\in \mathbb {N} }p_{i}x^{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8dc8feb98e79dcab85ecdf0e3c5bbbb2029d61de)
와 다항식열
![{\displaystyle q_{i}(x)=\sum _{j\in \mathbb {N} }q_{i,j}x^{j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0c2a91fc5367b8787e8ae85bf88f1ea698d5d0e)
의 음합성(영어: umbral composition)은 다음과 같은 다항식열이다.
![{\displaystyle (p\circ q)(x)=\sum _{j\in \mathbb {N} }p_{i}q_{j}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6aa9d7f1e0cfb10a4e0e88ecf8ac138269eff739)
마찬가지로, 두 다항식열
의 음합성은 다음과 같다.
![{\displaystyle (p\circ q)_{i}=p_{i}\circ q}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b527501c61324d8b80274ae16906ea612c79d9d)
이에 따라, 다항식열들은 모노이드를 이룬다. 음합성의 항등원은 다음과 같다.
![{\displaystyle \delta _{n}(x)=x^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b85139e0ce98962ab65f746b9c20c0702509682)
셰퍼 다항식열[편집]
다항식열
가 주어졌다고 하자. 그렇다면 다음과 같은
-선형 작용소를 정의할 수 있다.
![{\displaystyle Q\colon K[x]\to K[x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21cbd076662d696bb57daee11a59842c9365dc2d)
![{\displaystyle Q\colon p_{i}\mapsto ip_{i-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4cc469364a62ba6eb27ec11db9a188ed33dc71a)
이를 다항식열
의 델타 연산자(영어: delta operator)라고 한다.
또한, 임의의
에 대하여, 다음과 같은
-선형 작용소를 정의할 수 있다.
![{\displaystyle T_{a}\colon K[x]\to K[x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eaad42e4a614beea2a75644b5542e9dd8fa6b81a)
![{\displaystyle T_{a}p_{i}(x)=p_{i}(x+a)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44cbc169e0738c3da827b8c368bf4ff462bcbb27)
만약
가 모든
와 가환한다면,
를 셰퍼 다항식열(영어: Sheffer sequence)이라고 한다.
![{\displaystyle QT_{a}p=T_{a}Qp\qquad \forall a\in K,p\in K[x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef03a2ed35bc22154843ba90822bdd9564ff1e1a)
두 셰퍼 다항식열의 음합성 역시 셰퍼 다항식열을 이루며, 음합성에 대하여 셰퍼 다항식열들은 군을 이룬다.
셰퍼 다항식열
의 지수 생성 함수는 다음과 같은 꼴이다.
![{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {p_{n}(x)}{n!}}t^{n}=A(t)\exp(xB(t))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e820d6aca4a39abf9c74550fab224db705a2959)
![{\displaystyle A,B\in K[[t]]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b78d8cd4514eef5985af3956b1ea27d4481ab877)
따라서, 셰퍼 다항식열은 일반화 아펠 다항식열의 특수한 경우이다.
아펠 다항식열[편집]
셰퍼 다항식열
에 대하여, 델타 연산자가 다항식의 미분과 같다면,
를 아펠 다항식열(영어: Appell sequence)이라고 한다.
두 아펠 다항식열의 음합성 역시 아펠 다항식열을 이루며, 음합성에 대하여 아펠 다항식열들은 아벨 군을 이룬다. 이는 셰퍼 다항식열의 군의 정규 부분군이다.
모든 아펠 다항식열
은 어떤 수열
에 대하여
![{\displaystyle p_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a_{n-k}x^{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11e55ee857de125b7b11da8f1785bcf1a253a139)
의 꼴임을 보일 수 있다. 역으로, 아펠 다항식열이 주어졌다면
![{\displaystyle a_{n}=p_{n}(0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16cf24b50dcb9853d8dd8bb90ef671b67fcd0c21)
이 된다.
아펠 다항식열의 예로는 다음이 있다.
- 베르누이 다항식
. 이에 대응하는 수열은 베르누이 수이다.
- (확률론의) 에르미트 다항식
. 이에 대응하는 수열은
,
이다.
- 오일러 다항식
. 이에 대응하는 수열은
이다 (
는 크로네커 델타).
이항형 다항식열[편집]
셰퍼 다항식열
에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 셰퍼 다항식열을 이항형 다항식열(영어: sequence of binomial type)이라고 한다.
이며
이다.
- 다음 항등식이 성립한다.
![{\displaystyle p_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}p_{k}(x)p_{n-k}(y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17fd2f1d1e2db8bffba31b9f2f84c064cd52a7d6)
이항형 다항식열은 음합성에 대하여, 셰퍼 다항식열의 군의 부분군을 이룬다. 이는 정규 부분군이 아니며, 아벨 군이 아니다. 셰퍼 다항식열의 군
은 아펠 다항식열의 군
과 이항형 다항식열의 군
의 반직접곱이다.
![{\displaystyle \operatorname {Sheffer} \cong \operatorname {Appell} \rtimes \operatorname {Binom} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11ab4fdce3ff5b299183bfd213c30688656d2c1d)
이항형 다항식열은 그 델타 연산자로부터 완전히 결정된다.
이항형 다항식열의 예로는 다음이 있다.
. 이에 대응하는 델타 작용소는 미분
이다.
- 하강 포흐하머 기호
. 이에 대응하는 델타 작용소는 전방 유한 차분
이다.
- 상승 포흐하머 기호
![{\displaystyle p_{n}(x)=x^{\overline {n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84a16fe90ed194a86ffe048dd73251ea672e9ca1)
- 아벨 다항식
![{\displaystyle p_{n}(x)=x(x-an)^{n-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/207ea215895fee8446ab13b487d8418da714d00f)
- 투샤르 다항식
. 여기서
는 제2종 스털링 수이다.
아펠 다항식의 음계산법[편집]
아펠 다항식열
![{\displaystyle p_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}p_{n-k}x^{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45fe841ae71523220499847954362612d15ab720)
이 주어졌다고 하자. 이 경우, 형식적 변수
에 대하여 다음과 같은 선형 범함수를 정의할 수 있다.
![{\displaystyle L\colon K[{\mathsf {p}}]\to K}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9f320c65a9fc0da62adfb3c5ba1fe3cdab8fdd9)
![{\displaystyle L\colon {\mathsf {p}}^{n}\mapsto p_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/085adbfbb92b50872499fc5f8baf8208fde75de1)
이 경우,
를 음변수(영어: umbral variable)라고 한다.
을 가하면,
의 윗첨자(거듭제곱)가
의 아랫첨자로 바뀌는 것을 알 수 있다.
그렇다면, 다음과 같은 식들이 성립한다.
![{\displaystyle L\left((a+{\mathsf {p}})^{n}\right)=p_{n}(a)\qquad \forall a\in K}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09dac51e30141bf0f5b837ed1520228928426c28)
![{\displaystyle L\left({\frac {d}{da}}(a+{\mathsf {p}})^{n}\right)={\frac {d}{da}}L\left((a+{\mathsf {p}})^{n}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cead3b6b121af5e57610948b8ae30a4442d23e6)
따라서,
를 포함하는 표현을
로 나타낸 뒤, 음변수
의 다항식으로 다룰 수 있다. 이를 음계산법이라고 한다.
예를 들어, 다음과 같은 항등식을 음계산법으로 쉽게 보일 수 있다.
![{\displaystyle {\begin{aligned}p_{n}(x+y)&=L\left((x+y+{\mathsf {p}})^{n}\right)\\&=L\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(y+{\mathsf {p}})^{n-k}x^{k}\\&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}L((y+{\mathsf {p}})^{n-k})x^{k}\\&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}p_{n-k}(y)x^{k}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/323b201a3ab9241bc236837e7c56e635b82f2888)
이항형 다항식의 음계산법[편집]
델타 연산자
에 대응하는 이항형 다항식
이 주어졌을 때, 다음과 같은 선형 범함수를 정의하자.
![{\displaystyle L\colon K[{\mathsf {p}}]\to K[x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98f597195add2637afd06332407a00d2730e6eaa)
![{\displaystyle L\colon {\mathsf {p}}^{n}\mapsto p_{n}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19d0b116d6677ad60850ed932e4736a8ce5bb67d)
그렇다면, 다음과 같은 항등식이 성립한다.
![{\displaystyle L\colon a\mapsto a\qquad \forall a\in K}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0258aab766bc70fb7cfaab6e99a38ec25f20f092)
![{\displaystyle L\left({\frac {d}{d{\mathsf {p}}}}f({\mathsf {p}})\right)=Q(Lf)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7960781f62108eed76f6c6aca3e946a15ec87b3)
![{\displaystyle L\left(\operatorname {eval} _{{\mathsf {p}}\mapsto 0}f({\mathsf {p}})\right)=\operatorname {eval} _{x\mapsto 0}L\left(f({\mathsf {p}})\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1025bcff177a286dce2c1691c09ee79c2978b6f0)
따라서, 아펠 다항식의 경우와 같이
를 포함하는 표현을
로 나타내어 편하게 다룰 수 있는 음계산법이 성립한다.
특히, 임의의
에 대하여,
이므로
![{\displaystyle f=L(g({\mathsf {p}}))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/903fc42ef0c90981ddbe8ae3e1e82c5638a454b9)
인 다항식
![{\displaystyle g({\mathsf {p}})\in K[x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4cc5a1bf290237f3dbad3ef3b589ff90895bf9f)
![{\displaystyle g({\mathsf {p}})=\sum _{k=0}^{\infty }g_{k}{\mathsf {p}}^{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd8111d1122dde75cd575132d0a5b0d0ede47147)
가 존재한다. 이 경우,
![{\displaystyle g_{k}=L(g_{k})={\frac {1}{k!}}L\left(\operatorname {eval} _{{\mathsf {p}}\mapsto 0}{\frac {d^{n}}{d{\mathsf {p}}^{n}}}g({\mathsf {p}})\right)={\frac {1}{k!}}\operatorname {eval} _{x\mapsto 0}Q^{n}L(g({\mathsf {p}}))={\frac {1}{k!}}Q^{n}f(0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a863cd1e7ca70db75c55927dfaaea7de17d240af)
이다. 따라서,
![{\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }L\left(g_{n}{\mathsf {p}}^{n}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }g_{n}p_{n}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}Q^{n}f(0)p_{n}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e10b5ea5e8861ee8e81ee92805fa95865e47b3b)
가 된다. 이를 음 테일러 급수(영어: umbral Taylor series)라고 한다.
특히,
이 하강 포흐하머 기호
![{\displaystyle p_{n}(x)=x^{\underline {n}}=x(x-1)\cdots (x-n+1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da2b9912d2ee8907bcc9d7e0eab9bb0f0e9b55e0)
일 경우,
![{\displaystyle p_{n}(x+1)-p_{n}(x)=np_{n-1}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08a59ed0ef902ccb9f4fc3b221ee476762f97c6f)
이므로, 이에 대응하는 델타 작용소는 전방 유한 차분
![{\displaystyle \Delta f(x)=f(x+1)-f(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f476f29e065f1a1e0f67e13e89fb2a8f07cad235)
이다. 따라서
![{\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}\Delta ^{n}f(0)x^{\underline {n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c611d6d8b3e89f86b160369d465936d3261db91)
이다. 이는 뉴턴 급수라고 한다.
보다 일반적으로, 셰퍼 다항식열은 아펠 다항식열과 이항형 다항식열의 음합성이므로, 이에 대한 음계산법을 개발할 수 있다.
베르누이 공식[편집]
베르누이 다항식
은 아펠 다항식열을 이룬다. 따라서, 선형 작용소
![{\displaystyle L\colon \mathbb {Q} [{\mathsf {b}}]\to \mathbb {Q} [x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa5d3f308ae57d03b5c046001287f8ffaf66ef1d)
![{\displaystyle L\colon {\mathsf {b}}^{n}\mapsto B_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b98e2e5c7396715bef1420c6b61480dd1c3d31b)
를 정의하자. (여기서
은
인 베르누이 수이다.) 그렇다면, 음계산법을 사용한다면 거듭제곱수의 합에 대한 베르누이 공식은 다음과 같이 깔끔하게 적을 수 있다.
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=1}^{n}k^{m}&={\frac {1}{m+1}}\left(B_{m+1}(n+1)-B_{m+1}(0)\right)\\&=L\left({\frac {(n+1+{\mathsf {b}})^{m+1}-{\mathsf {b}}^{m+1}}{m+1}}\right)\\&=L\int _{\mathsf {b}}^{{\mathsf {b}}+n+1}x^{p}\,dx\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84b34ca1b65b308734090d40d7b0227dbd8906d7)
역관계[편집]
두 수열
,
에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
![{\displaystyle \forall n\colon a_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}b_{n}\iff \forall n\colon b_{n}=\sum _{k=0}^{n}(-)^{k}{\binom {n}{k}}a_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a28be5d07372d2d7f69c4e7ed88bbfc30e1c7cee)
이는 다음과 같이 음계산법으로 쉽게 유도할 수 있다.[1]:185–186
우선
![{\displaystyle L\colon K[{\mathsf {a}}]\to K}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5e5b348f928d61dc3349306390a54bf7749ac2d)
![{\displaystyle L\colon {\mathsf {a}}^{n}\mapsto a_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14b963d9214dff7fff3268bc47f97e5cd910cde8)
라고 하자. 그렇다면, 만약
![{\displaystyle b_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}b_{n}=L\left((1+{\mathsf {a}})^{n}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9f2ec7a7d8ac1253043c096593ebc33fceb6f88)
라면,
![{\displaystyle {\mathsf {b}}=1+{\mathsf {a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4fc1c87d0ff5e8369018b2daf4d81372775b86e)
로 정의할 수 있다. 그렇다면
![{\displaystyle a_{n}=L({\mathsf {a}}^{n})=L\left(({\mathsf {b}}-1)^{n}\right)=\sum _{k=0}^{n}(-)^{k}{\binom {n}{k}}b_{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d272f699d93db048428b55f01d65c2463d1b3f9c)
임을 알 수 있다. (반대 방향의 함의도 마찬가지로 성립한다.)
음계산법은 1861년에 존 블리사드(영어: John Blissard)가 도입하였다.[2] 그러나 블리사드는 선형 범함수를 사용하지 않았으며, 단순히 특정 경우 아랫첨자를 윗첨자처럼 간주할 수 있다는 선에서 음계산법을 이해하였다.
이후 음계산법은 에두아르 뤼카와 제임스 조지프 실베스터 등에 의하여 널리 사용되었으나, 오랫동안 음계산법이 왜 성립하는지는 의문에 싸여 있었다. 1938년에 에릭 템플 벨(영어: Eric Temple Bell)은 음계산법을 엄밀하게 유도하려고 시도하였으나, 그리 성공적이지 못하였다.[3]
1970년대에 잔카를로 로타는 선형 범함수를 사용하여 음계산법을 엄밀하게 유도하였다.[4]
아펠 다항식열은 프랑스의 수학자 폴 에밀 아펠(프랑스어: Paul Émile Appell, 1855~1930)이 도입하였다. 셰퍼 다항식열은 미국의 수학자 이자도어 미첼 셰퍼(영어: Isador Mitchell Sheffer, 1901~1992)가 도입하였다.
- ↑ Kung, Joseph P. S.; Rota, Gian-Carlo; Yan, Catherine H. (2009). 《Combinatorics: The Rota Way》. Cambridge Mathematical Library (영어). Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511803895. ISBN 978-0-521-88389-4. 2016년 3월 3일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2015년 10월 28일에 확인함.
- ↑ Blissard, John (1861). “Theory of generic equations”. 《The quarterly journal of pure and applied mathematics》 (영어) 4: 279–305.
- ↑ Bell, E. T. (1938). “The history of Blissard’s symbolic method, with a sketch of its inventor’s life”. 《The American Mathematical Monthly》 (영어) 45 (7): 414–421. ISSN 0002-9890. JSTOR 2304144.
- ↑ Roman, Steven M.; Rota, Gian-Carlo (1978). “The umbral calculus”. 《Advances in Mathematics》 (영어) 27 (2): 95–188. doi:10.1016/0001-8708(78)90087-7. ISSN 0001-8708. MR 0485417. 1부, 2부, 3부, 4부
- Roman, Steven (1984). 《The umbral calculus》. Pure and Applied Mathematics (영어) 111. Academic Press. ISBN 978-0-12-594380-2. MR 741185.
- Roman, Steven (1982년 5월). “The theory of the umbral calculus I”. 《Journal of Mathematical Analysis and Applications》 (영어) 87 (1): 58–115. doi:10.1016/0022-247X(82)90154-8. ISSN 0022-247X.
- Roman, Steven (1982년 9월). “The theory of the umbral calculus II”. 《Journal of Mathematical Analysis and Applications》 (영어) 89 (1): 290-314. doi:10.1016/0022-247X(82)90103-2. ISSN 0022-247X.
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- Di Bucchianico, A.; Loeb, D. (2000년 4월 10일). “A selected survey of umbral calculus”. 《The Electronic Journal of Combinatorics》 (영어). Dynamical Surveys: DS3.
- Niederhausen, Heinrich (2003년 10월). “Rota’s umbral calculus and recursions” (PDF). 《Algebra Universalis》 (영어) 49 (4): 435–457. doi:10.1007/s00012-003-1820-6. ISSN 0002-5240.
- Gessel, Ira G. (2003년 10월). “Applications of the classical umbral calculus”. 《Algebra Universalis》 (영어) 49 (4): 397–434. arXiv:math/0108121. Bibcode:2001math......8121G. doi:10.1007/s00012-003-1813-5. ISSN 0002-5240.
- Costabile, Francesco Aldo; Longo, Elisabetta (2014). “An algebraic exposition of umbral calculus with application to general linear interpolation problem — a survey”. 《Publications de l’Institut mathématique (nouvelle série)》 (영어) 96 (110): 67–83. doi:10.2298/PIM1410067C. ISSN 0350-1302.
외부 링크[편집]