확률론에서 위너 공간(Wiener空間, 영어: Wiener space) 또는 추상 위너 공간(抽象Wiener空間, 영어: abstract Wiener space)은 일종의 “정규 분포”에 해당하는 확률 측도를 갖춘, 무한 차원일 수 있는 바나흐 공간이다.[1]:§1.1[2] 일반적으로, 르베그 측도의 일반화는 무한 차원에서 존재하지 않으며, 또한 힐베르트 공간 위의 가우스 분포 역시 무한 차원에서는 존재하지 않는다. (이러한 “측도”는 유한 가법 측도로 구성할 수 있으나, 가산 무한 가법성이 일반적으로 성립하지 않는다.) 그러나 힐베르트 공간을 내적과 다른 어떤 특별한 노름으로 완비화하면, 이렇게 하여 얻는 바나흐 공간 위에 가우스 분포의 확률 측도를 정의할 수 있으며, 위너 공간은 이러한 구성이 가능한 바나흐 공간을 일컫는다.
위너 공간의 개념은 두 가지로 정의될 수 있다.
- 위너 공간은 그 측도의 푸리에 변환이 가우스 함수를 이룬다는 조건으로 추상적으로 정의할 수 있다.
- 위너 공간은 힐베르트 공간으로부터 구체적으로 정의할 수 있다.
이 두 정의는 서로 동치이다.
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
그렇다면,
이므로
![{\displaystyle E^{*}\subseteq H^{*}=H}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b40cef869f765b58ec711db3cc52982c9f40a15a)
이며,
는
의 조밀 집합을 이룬다. (여기서
는 연속 쌍대 공간을 뜻한다.)
만약
![{\displaystyle \int _{E}\exp(\mathrm {i} \langle \lambda |x\rangle )\,\mathrm {d} \mu (x)=\exp \left(-{\frac {\langle \lambda |\lambda \rangle _{H}}{2}}\right)\qquad \forall \lambda \in E^{*}\subseteq H}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1fd8ebbb7a9893be07a22c91c8e20d9314b0fae)
라면,
가 위너 공간이라고 한다.
위너 공간의 개념은 힐베르트 공간으로부터 보다 구체적으로 정의될 수 있다.
분해 가능 실수 힐베르트 공간
위의 기둥 집합의 족
위에, 다음과 같은 유한 가법 측도를 정의할 수 있다.
![{\displaystyle \nu \colon \operatorname {Cyl} (H)\to [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f31eb3e074b880994b55d646b433607bd39d6032)
![{\displaystyle \nu \colon P^{-1}(S)\mapsto (2\pi )^{n/2}\int _{S}\exp(-x^{2}/2)\,\mathrm {d} ^{n}x\qquad (P\colon H\to \mathbb {R} ^{n},\;S\in \operatorname {Borel} (\mathbb {R} ^{n}))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44592e8d4427872b2914ba50dd8121d764d761fe)
특히,
![{\displaystyle \nu (H)=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ee5a1c89ed75e4492abea80f1db9318b550d191)
![{\displaystyle \nu (\varnothing )=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d822864ae8d556078ff1769ee8b0f43402769505)
이다. 그러나 이는 가산 무한 가법성을 충족시키지 못해, 측도를 이루지 못한다. 즉, 이는
위의 (가산 가법) 측도의 제한이 아니다. 이를
위의 기둥 집합 측도(영어: cylinder-set measure)라고 한다.
위의 (내적 노름과 다를 수 있는) 노름
이 주어졌다고 하자. 만약 다음 조건을 만족시키는 유한 차원 부분 공간들의 열
![{\displaystyle V_{1}\leq V_{2}\leq \dotsb \leq H}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3babca335dc9acb8eeb0a4a215704c713ed9c45b)
이 존재한다면, 이를 가측 노름(영어: measurable norm)이라고 한다.
- 임의의 유한 차원 부분 공간
에 대하여, 만약
이라면,
이다.
의, 어떤 가측 노름
에 대한 완비화인 바나흐 공간
![{\displaystyle H\subseteq E}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d8b5c1ff593d519de1a601a2f985bbaacdb95ce)
가 주어졌다고 하자.
이므로,
![{\displaystyle \{H\cap C\colon C\in \operatorname {Cyl} (E)\}\subseteq \operatorname {Cyl} (H)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f8e4330f8a9ada179c0690ca7ae2ed04ce3f455)
이다.
그렇다면,
의 기둥 집합의 족
위에 다음과 같은 측도를 정의할 수 있다.
![{\displaystyle \nu \colon \operatorname {Cyl} (E)\to [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f267e0298461e3289a3a57015b1ad57e296c5670)
![{\displaystyle \nu \colon \phi ^{-1}(S)\mapsto \nu (H\cap \phi ^{-1}(S))\qquad \forall \phi \colon B\to \mathbb {R} ^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9d4e917c0ddca2f3fd4a74e1f8bc574732eef49)
이는
로 생성되는 시그마 대수
![{\displaystyle \sigma (\operatorname {Cyl} (E))=\operatorname {Borel} (E)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2961b391750e0960bc081dbc39523f49ef5866fb)
위에 가산 가법으로 유일하게 확장될 수 있다. 즉, 이는 가측 공간
위의 확률 측도를 이룬다. 그렇다면,
를 위너 공간이라고 한다.
위너 공간
가 주어졌다고 하자. 임의의 유계 범함수
에 대하여,
위의 측도
의 분포 함수는 평균이 0인
위의 정규 분포에 비례한다. 즉, 다음과 같은 꼴이다.
![{\displaystyle \mu (\phi ^{-1}(S))=\int _{S}C\exp(-x^{2}/2\sigma ^{2}),\mathrm {d} x\,\qquad (C\geq 0,\;\sigma ^{2}>0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54417332ed69a27f538a09bb841bbfa031e7ab4b)
또한, 만약
라면,
이다.
임의의 분해 가능 바나흐 공간
에 대하여, 그 위의 위너 공간 구조
가 적어도 하나 이상 존재한다.:Theorem 4.47
위너 공간
이 주어졌다고 하자. 그렇다면,
![{\displaystyle E^{*}\subseteq H\subseteq E}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c4fe02ca2177eac50c3e76b52af8e1c85075e75)
가 성립한다. 또한,
![{\displaystyle E^{*}\subseteq \operatorname {L} ^{2}(E,\mu ;\mathbb {R} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b3f5266524d4a8dc8accbaf94f8ea468fd75c13)
임을 보일 수 있으며, 다음이 성립한다.
![{\displaystyle \|\phi \|_{\operatorname {L} ^{2}(E,\mu ;\mathbb {R} )}={\sqrt {\langle \phi |\phi \rangle _{H}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fb1083a02622b5134b52dadd9f7f9ca84a13a8b)
다시 말해, 등거리 변환인 선형 변환
![{\displaystyle E^{*}\to \operatorname {L} ^{2}(E,\mu ;\mathbb {R} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/300ebe59346066baa777f41835466c79770fb049)
이 존재한다.
는
의 조밀 집합이므로, 이를
전체로 확장할 수 있다. 즉, 등거리 변환인 단사 선형 변환
![{\displaystyle I\colon H\to \operatorname {L} ^{2}(E,\mu ;\mathbb {R} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44df1c88c461247ef4f204c4849e82157298348b)
이 존재한다. 이를 페일리-위너 사상(영어: Paley–Wiener map)이라고 한다. 이에 따라서, 임의의
및
에 대하여
![{\displaystyle I_{h}(x)\in \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b96d76e2d4ee787209ad28dc04389ebcbf131496)
를 정의할 수 있다. 이를 페일리-위너 적분(영어: Paley–Wiener integral)이라고 한다.
위너 공간
및
에 대하여, 다음을 정의하자.
![{\displaystyle (+h)\colon E\to E}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d247bfaabf05dc453258f16f1583586ed5f9bf3)
![{\displaystyle (+h)\colon x\mapsto x+h}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0ec7a95cf27786be10484def887a175505e0831)
그렇다면,
위의 보렐 확률 측도
![{\displaystyle \mu _{h}=(+h)_{*}\mu \colon \operatorname {Borel} (E)\to [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73c9d7ebeae14b5815f4b1169ec32458e0dee869)
를 정의할 수 있다. 이 경우, 라돈-니코딤 도함수
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mu _{h}}{\mathrm {d} \mu }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e68a100391fcf4aeaeb08d7d3b75f6490369502)
는 다음과 같다.
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mu _{h}}{\mathrm {d} \mu }}=\exp \left(I_{h}(x))-{\frac {1}{2}}\langle h|h\rangle \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32c4cf7061305f4133f50839b47c0c9aef902783)
여기서
는 페일리-위너 적분이다. 이를 캐머런-마틴 정리(영어: Cameron–Martin theorem)라고 한다.
두 위너 공간
,
가 주어졌을 때,
위에 다음 조건으로 결정되는 위너 공간 구조가 존재한다.
![{\displaystyle \mu (S\times S')=\mu _{E}(S)\mu _{E'}(S')\qquad \forall S\in \operatorname {Borel} (E),\;S'\in \operatorname {Borel} (E')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed40815925e0509a380d985c45aefc95c2383cfb)
만약
가 유클리드 공간(즉, 유한 차원 힐베르트 공간)이며,
라고 하자. 이 경우,
위의 위너 공간 구조의 개념은
위의, 평균이 0인 정규 분포와 같다.
다음과 같은 바나흐 공간을 생각하자.
![{\displaystyle {\mathcal {C}}_{0}^{0}([0,T],\mathbb {R} ^{n})=\{f\in {\mathcal {C}}^{0}([0,T],\mathbb {R} ^{n})\colon f(0)=0\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2a9cb597a0c59bebd2d76e075d636138e9ce0e6)
![{\displaystyle \|f\|_{{\mathcal {C}}_{0}^{0}([0,T],\mathbb {R} ^{n})}=\max _{[0,T]}\|f\|_{\mathbb {R} ^{n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/373a4a08a826ac76263bc3e8baf76827131e6ccb)
그렇다면, 그 속에 다음과 같은 부분 공간을 정의할 수 있다.
![{\displaystyle \operatorname {W} _{0}^{1,2}\left([0,T],\mathbb {R} ^{n}\right)=\operatorname {W} ^{1,2}([0,T],\mathbb {R} ^{n})\cap {\mathcal {C}}_{0}^{0}([0,T],\mathbb {R} ^{n})=\{f\in {\mathcal {C}}_{0}^{0}([0,T],\mathbb {R} ^{n}),\;\mathrm {d} f/\mathrm {d} t\in \operatorname {L} ^{2}([0,T],\mathbb {R} ^{n})\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa2ec7a4d2496d172100e7da5c5ab63dbc933254)
여기서
는 소볼레프 공간이다. 즉, 이 부분 공간의 원소는 거의 어디서나 1차 도함수를 가지며, 그 1차 도함수는 르베그 공간
의 원소이다. (도함수의 L2 노름의 제곱은 에너지라고 하며, 따라서
의 원소는 유한 에너지 경로(영어: finite-energy path)라고 한다.)
이는 조밀 집합이며, 그 위에 다음과 같은 힐베르트 공간 구조를 줄 수 있다.
![{\displaystyle \langle f,g\rangle _{\operatorname {L} _{0}^{2,1}\left([0,1],\mathbb {R} ^{n}\right)}=\int _{0}^{T}\langle {\dot {f}}(t),{\dot {g}}(t)\rangle _{\mathbb {R} ^{n}}\,\mathrm {d} t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df878c80182fb4170a8b8af856563b7b8b0d820a)
이제, 임의의 확률 공간
및 위너 과정
![{\displaystyle (W_{t}\colon \Omega \to \mathbb {R} ^{n})_{t\in [0,T]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3b3e2b7430b79d6e840e522cdc003c996e9db73)
을 생각하자.
의 궤적은 거의 확실하게 연속 함수이므로, 그 궤적들의 확률 분포는
위의 측도를 정의한다. 즉, 임의의 보렐 집합
에 대하여,
![{\displaystyle \mu (S)=\Pr(W\in S)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e35ead40acd34bc6dbd5505d5c4ce77492f274b2)
로 놓는다.
그렇다면,
는 위너 공간을 이룬다. 이를 고전 위너 공간(古典Wiener空間, 영어: classical Wiener space)이라고 한다.
원을
![{\displaystyle \mathbb {S} ^{1}=[0,1]/(0\sim 1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ff71a9e46f09e962d9cdaf89cda64a32a7027d5)
로 정의하자.
L∞ 노름을 가진, 초가 값이 주어진 주기 함수들의 바나흐 공간
![{\displaystyle E={\mathcal {C}}_{0}^{0}(\mathbb {S} ^{1},\mathbb {R} ^{n})=\{f\in {\mathcal {C}}^{0}(\mathbb {S} ^{1},\mathbb {R} ^{n})\colon f(0)=f(1)=0\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd548dab15ffd2f0d41465b921443435c70e9c5e)
을 생각하자. 이 위에, 부분 공간
![{\displaystyle H=\operatorname {W} _{0}^{1,2}(\mathbb {S} ^{1},\mathbb {R} ^{n})=\operatorname {W} ^{1,2}(\mathbb {S} ^{1},\mathbb {R} ^{n})\cap E}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66294810d92ff2f99580bc9f029df438d004ddd0)
을 생각하자. 이는 내적
![{\displaystyle \langle f,g\rangle =\oint {\dot {f}}{\dot {g}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18bfb2a89ccbde77aeb62f6ad08e7bdeca9d728c)
에 의하여 힐베르트 공간을 이룬다.
위에, 확률 과정
![{\displaystyle X_{t}=W_{t}-tW_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b5aaf3cb229ced211cdbac7f28892ba2973c828)
의 법칙으로 주어지는 확률 측도를 부여하자. 여기서
는 위너 과정이다. 그렇다면,
는 위너 공간을 이룬다.:§4.4
분해 가능 힐베르트 공간
및 에르미트 양의 정부호 힐베르트-슈미트 작용소
가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 노름
![{\displaystyle \|x\|_{A}=\langle Ax|Ax\rangle _{H}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c89af6251fcd9281adc98c3603f23410b992569)
을 정의할 수 있다. 이는 가측 노름임을 보일 수 있으며, 이렇게 하여 정의된 위너 공간
에서
역시 힐베르트 공간을 이룬다.:Corollary 4.62 반대로, 임의의 위너 공간
에서
가 힐베르트 공간이라면, 이는 항상 위와 같은 꼴로 표현된다.:Corollary 4.62
고전 위너 공간은 노버트 위너가 최초로 구성하였다. 이후 레너드 그로스(영어: Leonard Gross)가 (추상적) 위너 공간의 개념을 도입하였다.[3]
페일리-위너 적분은 레이먼드 에드워드 앨런 크리스토퍼 페일리(영어: Raymond Edward Alan Christopher Paley, 1907〜1933)와 노버트 위너의 이름을 땄다.
캐머런-마틴 정리는 로버트 호턴 캐머런(영어: Robert Horton Cameron, 1908〜1989)과 윌리엄 테드 마틴(영어: William Ted Martin, 1911〜2004)이 증명하였다.
- ↑ Bell, Denis R. (1987). 《The Malliavin calculus》. Pitman Monographs and Surveys in Pure and Applied Mathematics (영어) 34. John Wiley. ISBN 0-582-99486-1. MR 2250060.
- ↑ Eldredge, Nathan (2016). “Analysis and probability on infinite-dimensional spaces”. arXiv:1607.03591.
- ↑ Gross, Leonard (1967). 〈Abstract Wiener spaces〉 (PDF). Le Cam, Lucien M.; Neyman, Jerzy. 《Proceedings of the Fifth Berkeley Symposium on Mathematical Statistics and Probability. Volume Ⅱ. Part Ⅰ. Contributions to probability theory》 (영어). University of California Press. 31–42쪽. MR 212152. [깨진 링크(과거 내용 찾기)]